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数列の証明問題です
等差数列Ａn＝a+d(n-1)について、第n項までの和をＳn、m項までの和をＳmとすると、m≠nのときＳm＝ＳnならばＳm+n＝0を証明せよ。という問題です。 次の証明は証明になっていますか？ Ｓn＝n{2a+d(n-1)}/2、Ｓm＝m{2a+d(m-1)}/2と、Ｓm+n＝(m+n){2a+d(m+n-1)}/2とおける Ｓm＝Ｓnより2am^2+dm^2-dm=2an+dn^2-dn dm^2+(2a-d)m-dn^2-(2a-d)n=0 m≠n、a、dは実数だからa=d=0 このとき Ｓm+n＝(m+n){2・0+0・(m+n-1)}/2 ＝0 なにかがおかしい気がするんですが、どうでしょうか ちなみに模範解答は Ｓm-Ｓnを変形してＳm-Ｓn＝Ｓm+n＝0を導いています…
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- Meowth
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Ｓm＝Ｓnより2am^2+dm^2-dm=2an+dn^2-dn 2am^2→2am 間違いのままの式は変形して、 確かに dm^2+(2a-d)m-dn^2-(2a-d)n=0 だが、 ここから m≠n、a、dは実数だからa=d=0 はいえない。 修正した式からは、 2am+dm^2-dm=2an+dn^2-dn は因数分解して、 (m-n) {d(m+n-1) + 2 a}=0 d=0 のとき a=0 Sn=Sm=Sm+n=0 これも一応解（自明解） d≠0のとき、 m+n-1＝1+2 a/d .....
> dm^2+(2a-d)m-dn^2-(2a-d)n=0 > m≠n、a、dは実数だからa=d=0 この式から、a=d=0 までいうのは無理です。 dm^2+(2a-d)m-dn^2-(2a-d)n=0 より、因数分解して、 (m-n)｛d(m+n)＋2a-d｝=0 m≠n より、d(m+n)＋2a-d=0 よって、2a＝-d(m+n-1) あとは分かりますね？ これを、Ｓm+n に代入してください。
お礼
ありがとうございます。 できればどうしてそう言えないのかもお願いしたかったです…
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