３次式の解法

質問

x^3+3x-2=0の解法で１つは、x=A+□/Aと置いて解く解法と、解の公式を使うのがあるらしいんですけど、さっぱりわからなかったです。(解の公式は説明を見ても難しすぎました。)教えてほしいのは、これら以外の解法と、高校生でもわかる説明をお願いします。

回答No.2

samidare1234 · ベストアンサー

x=α＋β,αβ＝-1　と勝手にxの値を分解して問題の式に代入するとα^3＋β^3＝2と出ます。αβ＝-1よりα^3β^3＝-1なのでα^3とβ^3を解とする二次方程式はt^2－2t-1=0。コレをといてt=1+√2,1-√2つまりα^3＝1+√2,β^3＝1-√2
あとは両者の三乗根を求めてα＋β（＝ｘ）を出せば良いよね！

回答No.4

kony0

とりあえず□がわからないので、これをkとおくと、
x=A + k/A
(A + k/A)^3 +3(A+k/A) -2 = 0
A^3 +3ka +3k/A +(k/A)^3 +3(A+k/A) -2=0
{A^3+(k/A)^3} +3(k+1)(A+k/A) -2=0

ここで上記の第２項に着目し、k=-1とおくことにより、
x=A-1/A, A^3-(1/A)^3-2=0
と式が簡単になります。
（#2さんのアイデアはここから来ていると思われます）

・・・ところで、この問題の解ってどこまで綺麗な形になるんだろう？

回答No.3

ion12wat

解の求め方に執着しないで，
この方程式はどのような解を持っているのか？
ということを考えて見ると展望が開けるの
ではないでしょうか。

f(x)=x^3+3x-2と置きます。
すると，f(x)を微分したf'(x)を考えてみると，

f'(x)=3x^2+3

となり，f'(x)>0なので，f(x)は単調増加な関数で
あると言えます。

ゆえに，f(x)=0の実数解は一つしか存在しないことに
なります。

これで，f(x)の解のイメージは持てるのではないで
しょうか。
後は，f(x)のグラフを描いて確認してみてください。

「３次方程式の解法」の直接的な回答になっていなくてすみません。

回答No.1

finneganswake

x^3-3x-2=0
だったら解法わかる？ああ、一つの答えはx=-1だなとあたりをつけて、因数分解するわけだ。
あたりがつけられない場合、解の公式に頼るしかないんじゃないの？カルダーノの公式かしら？書いてある問題は、かなりエグい解になるような気がするが、それは高校生（１年？）じゃ求められないように思う。

ニュートン法使って、大体の数字を求めるって方法もあるけど、あんなものエクセルでもなきゃやる気にならないしな。
私はカルダーノの式、大学に入るまで知らなかった（存在は知らなかった）けど、普通に数学受験してたよ。だから、あなたが求めるものによると思うけど、無理じゃないかしら。

全然、トンチンカンなこと書いてる気もする。