解法を教えてください。

質問

２つの不等式　x^2-3x>0…(1)、x^2-(a-2）x-2a<0…(2)　がある。不等式(1)の解はx<0,3<xまたa>-2の時、不等式(2)に解は a<x<-2,この時、不等式(1)，(2)を同時に満たす整数xの値がちょうど２つあるaの値の範囲は？また、更に、a>-2の時も考えるとき、不等式(1)，(2)を同時に満たす整数xの値がちょうど２つあるaの値の範囲は？

この解法が良くわかりません。教えてください。お願いします。

回答No.1

Umada · ベストアンサー

整数あるいは自然数に条件を限定する問題の場合、「範囲を絞り込んでから」→「一つ一つ吟味する」というのが常套手段です。
2次不等式の解法は問題なく理解されておいでのようなので、その先から解説することにします。

不等式(1)の解はおっしゃる通り3<xまたはx<0です。
不等式(2)は-2とaの大小で少し扱いが変わりますね。厳密に場合分けして考えましょう。
(2-1)a<-2のとき　(2)の解は　a<x<-2
(2-2)a>-2のとき　(2)の解は　-2<x<a
です。

方程式(1)と(2)の解を数直線上に表してみます。まず(2-1)のケースですが
　　　　　　　　 　　０　　 3
(1)＝＝＝＝＝＝＝＝○＋＋○＝＝＝
　　　　　a　　-2
(2-1)＋＋○＝＝○＋＋＋＋＋＋＋

となります。それぞれ＝＝はxが不等式を満たす範囲、＋＋は満たさない範囲を表します。○は範囲に含まれません。
(2-1)で-2の方は固定されていますが、aの方は動きます。
(1)と(2-1)が整数解をちょうど二つもつためには、その解は-3と-4であるべきことが数直線の関係より分かります。
また解として-5が含まれては解が三つになってしまいますので具合が悪い。
そこで(2-1)の場合のaの範囲は、-5≦a<＜4ということになります。
(a=-5の時、x=5は不等式を満たさないのでここまで範囲に含まれることに注意)

(2-2)についても同様に考えればOKです。
　　　　　　　　 　０　　 3
(1)＝＝＝＝＝＝＝＝○＋＋○＝＝＝
　　　 　　　-2　　a
(2-2)＋＋＋＋○＝＝○＋＋＋＋＋＋＋

(1)と(2-2)の範囲が重なる場所ですが、どうようにaの値を変化させながら考えましょう。
aを-2からだんだん大きくしていくと、まずx=-1が見つかります。
次にx=0は範囲に含まれないので除外されます。しばらくは解がなくて、さらにaを大きくしていくとこんどはx=4が解として現れます。
x=5が解に含まれてしまうと題意を満たさなくなるので、答えは
4＜a≦5
ということになります。

*計算間違いをしているかも知れません、念のためご自身で検算しながらお読みください。

回答No.3

zangas

(1)a<-2の時
x<0,x>3,a<x<-2,を同時に満たす、
つまり、a<x<0であり、この範囲にはいるxは、x=-1,-2となればよいので、
-3<=a<-2

(2)a>-2の時
x<0,x>3,-2<x<a,
つまり、-2<x<0,3<x<aであり、
(aが3より小さければ、-2<x<0となるので、x=-1のみになるので)
x=-1,4となればよいので、(1)と同様にして、
a>4

回答No.2

newtype

問題を自分で適当に解釈しました。

ａ＜－２の時、不等式(1),(2)の解は
ー５＜ａ＜－４

－２＜ａの時、不等式(1),(2)の解は
３＜ａ＜６

補足のところに正しい問題を載せてください。
解説を書きます。