サイコロとコインの分布

質問

次の確率の問題がわかりません
（２を特にお願いします）

表が出る確率をｐのコインとサイコロを用意する。
コインとサイコロを交互に投げる。この試行を
サイコロの３の目が出るまで続けるとする。

以下の問題に答えよ

１．コインの投げる回数をＹとするとき、
Ｙの確率分布と平均を求めよ

２．コインのおもてが出た回数をＸとするとき、
Ｘ＝１、Ｘ＝２となる確率をそれぞれ求めよ

１については幾何分布だから
分布は1-(1-p)^(Y)
平均は(1-p)/p　ですよね？

２については、サイコロの３が出ない場合が続いたら
その確率はどうなるのかがわかりません

回答No.3

bender

> １．コインの投げる回数をＹとするとき、Ｙの確率分布と平均を求めよ

平均というのはコインを投げる回数の期待値のことだと思うのですが、期待値の求め方としては、この実験を以下のように考えるとよいかもしれないです：
1. コインを一回投げる
2. 次に、サイコロをふって
　2.1. 1/6の確率で終わり
　2.2. 5/6の確率で１へもどる

2.1 のときは、その後コインを投げる回数の期待値は当然０回。
2.2 のときは 1 の状態に戻るので、その後コインを投げる回数の期待値は始めの期待値と一緒。そこでその期待値を E とすると、
E = 1 + 1/6 * 0 + 5/6 * E

これを解くと、期待値 E がわかると思います。

> ２．コインのおもてが出た回数をＸとするとき、Ｘ＝１、Ｘ＝２となる確率をそれぞれ求めよ

X=0, 1, ... の確率をそれぞれ P(X=0), P(X=1), ... と書くとして、問題１のように再帰的に考えると、P(X=1) = p * P(X=0) + (1-p) * P(X=1) といえると思います。また、P(X=0) = p * 0 + (1-p) * (1/6 + 5/6 * P(X=0)) といえるので、これらを解くことで P(X=1) が分かるように思います。

お礼

一つ一つ丁寧に教えてくださり、ありがとうございました
再帰的な方法で解くのですね