n次関数のグラフの有理点の個数の可能性
2次関数y=ax^2+bx+c（ただし、a,b,cは実数）の有理点の個数rの可能性は、r=0,1,2,∞で、r≠3,4,…
(証明：r=0,1,2となる例をあげる。また、少なくとも有理点が3個あれば、実際は∞個あることを示す。）
(a,b,c)=(1,1,√2)のとき、r=0
(a,b,c)=(1,√2,1)のとき、r=1
(a,b,c)=(√2,√2,1)のとき、y=√2x(x+1)+1なので、r=2
もし、少なくとも3個の有理点を持つとすると、2次関数の形は決定し、それはラグランジュ補間の公式を考えて、a,b,cは有理数となり、結局は有理点を∞個持つことになる。
(別解：a,b,cが有理数か無理数か2^3通りで場合わけ)
(a,b,c)=(有,有,有)のとき、x=有ならy=有なので、r=∞
(a,b,c)=(有,有,無)のとき、x=有ならy=無なので、r=0
(a,b,c)=(有,無,有)のとき、有理点は(x,y)=(0,c)のみなので、r=1
(a,b,c)=(無,有,有)のとき、有理点は(x,y)=(0,c)のみなので、r=1
(a,b,c)=(有,無,無)のとき、y=無x+無となり、r=0,1
(a,b,c)=(無,有,無)のとき、y=無x^2+有x+無となり、y=√2x^2+x-√2の例を考えて、r=0,2
(a,b,c)=(無,無,有)のとき、y=x(ax+b)+cとなり、(x,y)=(0,c)は必ず有理点。-b/aが有理数だったら、(x,y)=(-b/a,c)も有理点となるので、r=1,2
(a,b,c)=(無,無,無)のとき、y=√2x^2+√3x+√6ならr=0。
y=√2x^2+√3x-√2-√3=√2(x^2-1)+√3(x-1)ならr=1。
y=√2x^2+√2x-2√2=(x-1){√2(x+1)+√2}ならr=2。
以上のことをn次関数で考えるとどうなるのでしょうか？
できれば、上で言う(証明)と(別解)の両方を考えたいです。
お礼
質問の内容に不備があったことをお詫びします。 a＜0 の条件が必要です。 この質問の目的は有理数で示される数列の整数部分の和をもとめることでした。 それが結局、格子点問題に帰着すると判断して、格子点問題として質問した次第です。従って、頂いた回答は私にとっては問題が元に戻ってしまうことになります。 尚、この数列の和の演算は、コンピュータで計算したいと思っており、１項ずつ加算していくのでは時間がかかりすぎてしまうため、一括で計算したいと考えていました。しかし、仮に一括で計算する計算式が求まったとしても、少しでも複雑な計算式になると、丸め誤差による誤差は免れないため、高速で計算できるアルゴリズムを考えたほうが妥当と考え直しました。 質問の回答をありがとうございました。