Mathematicaでコンプトン散乱計算をするには

質問

竹内薫先生の『アインシュタインとファインマンの理論を学ぶ本』を買いました。
早速、「場の量子論を使ったコンプトン散乱の計算」の箇所を読んだのですが、さっぱり　わかりませんでした。しかし、何か、面白そうな計算であることは、わかりました。
Mathematicaを使用して、上述の「場の量子論を使ったコンプトン散乱の計算」をやってみたいのですが、参考になる本（簡単であること）や既に、Mathematicaを使用して計算したプログラムはないでしょうか？

目的は、ただ「場の量子論を使ったコンプトン散乱の計算」をしたいだけです。場の量子論の途中でガザガザ出てくる式の証明等は全く不要です。計算する式だけがわかればよいのです。

回答No.1

grothendieck · ベストアンサー

QEDは数式処理を発展させる原動力の一つになったものです。Compton散乱に限らず、QEDでは微分断面積はファインマン・パラメーター公式を使った積分の計算とガンマ行列の積のトレースの計算に帰着されます。私は使用経験がありませんが、参考URLのプログラムはそのようなものだと思います。

参考URL：

http://library.wolfram.com/infocenter/MathSource/435/

補足

面白そうなプログラムをご教示頂きましてありがとうございます。

プログラムにつきまして下記を教えてください。

１．このプログラムで、何が得られるのでしょうか？　　例えば、Compton散乱での断面積とかでしょうか？実際に実行してみますと、式も数値も出ませんでした。

２．このプログラムの式は、場の量子論の本（日本語でお願い致します。）に記載されているでしょうか？記載されていましたら、本の名前と、式が何Ｐに記載されているか？教えてください。

３．このプログラムに、the Levi-Civita tensorが出てくるのですが、一般相対論で使用されている tensorのはずです。場の量子論でも使用されるのでしょうか？

回答No.8

grothendieck

スカラー粒子による光子の散乱を最低次で計算するだけなら数式処理を使う所はありません。数式処理は高次の摂動のファインマングラフや、内線の運動量の積分や、頂点に割当てられるγ行列のトレースを計算するためのものです。すなわち計算のルールは分かっているが、人間の手で計算するのは非常に手間がかかるし間違えやすい様なものを計算するのです。計算のルールを導くには数式処理ではなく、教科書を読むことになります。せめてスカラー粒子による光子の散乱の高次を計算するとかなら数式処理を使う所もあると思います。

お礼

お返事ありがとうございます。

了解しました、電子のコンプトン散乱の計算ルールを何が何でも理解するように努力します。

回答No.7

grothendieck

No.1のプログラムでベクトルの記号として e は使えないことが分かりました。したがってワインバーグの本のT1をけいさんするためにe, e' をf, f' で置き換えるとT1 は
　In[1]:=tr[f'[a]a,k[b]b,f[c]c,p[d]d,f[e]e,k[f]f,f'[g]g,p'[h]h]
で計算されます。結果は
　 Out[1]:= -4f^2 k^2 p[alpha](f')^2 p'[alpha]+…-8f^2 k[alpha]k[beta]p[alpha]f'[beta]f'[gamma]p'[gamma]
となりました。次ぎにk^2=0 、f^2=f'^2=1　という条件を入れるために
　In[2]:=% /. k^2 -> 0
　In[3]:=% /. f^2 -> 1
　In[4]:=% /. (f')^2 -> 1
と入力すると
　T1=8(pk)(kp')+16(fp)(fk)(kf')(f'p')+16(fk)(fp)(kf')(f'p')-8(fp)(fk)(kp')-8(fk)(fp)(kp')-8(kf')(kp)(f'p')-8(kp)(kf')(f'p')
となりました。さらに(fp)=(f'p)=0と(fk)=(f'k')=0 (光は横波)から、
　T1=8(pk)(kp')-16(kf')(kp)(f'p')
となります。これがワインバーグp.99のT1です。T2なども同様に計算でき、コンプトン散乱の断面積が求められることが分かります。
　http://library.wolfram.com/infocenter/MathSource/4580/
は私がNo.2で引用しているプログラムです。これはtree levelなので異常磁気能率の計算などには使えません。これをうまく動かすことには私は今の所成功していません。

お礼

具体的には、パイオンcompton散乱（γπ散乱）の（e^2の桁の）全不変振幅のmathematicaプログラムを教えてほしいです。
（ゲージ理論入門I　ｐ179　5.213式　相当）
よくわかってないのですが、γ体操と呼ばれる計算が不要なだけ簡単のような気がします。

補足

お返事ありがとうございます。

只今、教えていただいたエイチスン、ヘイ著、ゲージ理論入門I,II(第2版)を読んで、場の量子論での断面積の計算についての概要を掴もうとしております。
まだまだ、コンプトン散乱の断面積の計算には、程遠いです。
コンプトン散乱の計算は、第６章で出てくるのですが、その前の第５章は、「スピン０の粒子の電磁相互作用」です。この章の計算を、mathematicaを使用して出来ないでしょうか？
読むだけよりも、実際、mathematicaで計算してみたら、楽しいですし、理解が早まるはずです。
自分勝手なお願いですが、宜しくお願い致します。

回答No.6

grothendieck

Mathematicaの情報を下さってありがとうございます。Mathematica5.2とNo.1のpackageをdownloadしました。No.1のpackageは<<feyn.mでは読み込めず、FileメニューのImportを使いました(Macintosh)。使い方を知るために
　In[1]:= tr[a,b]
と入力すると
　Out[1]:= 4g[a,b]　
と出力されました。(ワインバーグの(8.A.5)式)
　In[2]:= tr[five,a,b,c,d]
と入力すると
　Out[2]:= -4i e[a,b,c,d]
と出力されました。これを(8.A.12)式と比較するとγ5の定義はワインバーグの本と符号が異なっていることが分かります。
　In[3]:= tr[p[mu]mu,q[nu]nu]
と入力すると
　Out[3]:= 4p[alpha]q[alpha]
と出力されました。これは(8.A.5)式にp[mu]とq[nu]をかけて縮約したものに相当します。p.99の
　　T1 = -2(pk)tr[e'[a]a,k[b]b,e'[c]c,p'[d]d]
よりT1を計算するために
　In[4]:= tr[e'[a]a, k[b]b, e'[c]c, p'[d]d]
と入力すると
　Out[4]:= -4k[aipha] e'^2 p'[alpha] + 8k[alpha]e'[alpha]e'[beta]p'[beta]
と出力されました。e'^2=1なので、これで
　T1 = -8(pk)[2(e'k)(e'p')-kp']
であることが示されました。トレースの計算をもっと簡単にするにはk^2=0 (光子の質量は0)、e^2=e'^2=1 (光子の偏極ベクトルの性質)、(ep)=0 (ゲージの取り方)などの条件を入れる必要がありますが、その方法は今の所分かりません。水素のラムシフトや異常磁気モーメントの計算ももちろんできます。異常磁気モーメントはワインバーグの(11.2.3)を計算する必要があります。やはりトレースを計算してからd次元に移り、ファインマンパラメーター公式で積分すると言う手順になります。
　ワインバーグの本は最も標準的な本ですが、読むのは容易ではありません。なるべく簡単に読めて早く計算できるようになるということを目標にかかれた本として
　エイチスン、ヘイ著、ゲージ理論入門I,II(第2版)、（講談社）
があります。（私はこの本のことはよく知りません）

お礼

竹内薫先生から、下記のサイトを教えて頂きました。

自分では、試していませんが、報告しておきます。

http://www.feyncalc.org/

http://library.wolfram.com/infocenter/MathSource/839/

http://library.wolfram.com/infocenter/MathSource/1158/

http://library.wolfram.com/infocenter/Articles/3769/

http://library.wolfram.com/infocenter/MathSource/4580/

補足

お返事ありがとうございます。

＞Mathematicaの情報を下さってありがとうございます。
＞Mathematica5.2とNo.1のpackageをdownloadしました。
ほとんど、強制をしたみたいで、それを承知でdownloadして頂き、心が痛みますが、深謝致します。
＞ワインバーグの本は最も標準的な本ですが、読むのは容＞易ではありません。なるべく簡単に読めて早く計算でき＞るようになるということを目標にかかれた本として
＞　エイチスン、ヘイ著、ゲージ理論入門I,II(第2版)、
＞（講談社）があります。（私はこの本のことはよく知り＞ません）

図書館で借りて読んでみます。（得意技）

結論として、

１．mathematicaで計算しただけでは、おもしろくありません。式の意味をある程度理解するからこそ面白事を改めて認識しました。

２、しかし、場の量子論は、ぐじゃぐじゃ計算や公式ばからで、本質が見えないです。今後、コンプトン散乱について、その本質を数式ではなく言葉で質問しますので、ご教示頂きましたら幸いです。

回答No.5

grothendieck

In[4]をみるともう少し簡単に計算できそうです。ワインバーグ2巻(8.7.23)で例えば1/(p・k)^2 に比例する項は
　tr[e'[a]a,k[b]b,e[c]c,-i(p[d])d+m[t],e[e]e,k[f]f,e'[g]g,-i(p[h])h+m[t]]

のように入れると出てくるでしょう。
（記号としてe'は多分使えませんが、ワインバーグの本にあわせるためこうしてあります。iというのも虚数単位でなくガンマ行列の添字と見なされてしまい、まずいかもしれない）

補足

お返事ありがとうございます。
＞tr[e'[a]a,k[b]b,e[c]c,-i(p[d])d+m[t],e[e]e,k[f]f,e'[g]g,-i(p[h])h+m[t]]

＞のように入れると出てくるでしょう。
＞（記号としてe'は多分使えませんが、ワインバーグの本にあわせるためこうしてあります。
＞iというのも虚数単位でなくガンマ行列の添字と見なされてしまい、まずいかもしれない）

やってみますと、駄目でした。また、どのように修正したらよいか？もわかりません。

現時点で式の意味等が全く理解できませんが、ついでに更に高度な事項について質問します。水素のラムシフトや異常磁気モーメントの計算が実験値とかなりの精度で一致することが本に書かれていますが、このプログラムでこのような精度まで計算できるのでしょうか？

＞私はMathematicaを使える環境にないため、試すことができません。

大きなお世話かもしれませんが、現在、最新MTHEMATICA5.2トライアル版が無償でダウンロードできます。

1. まず、ウルフラムリサーチのサイトにアクセスしてください。
2. つぎに、Mathematicaのバナーというか、大きな文字でMATHEMATICA5.2と書いてあるところをクリックすると、リンク先に飛びます。(日本語サイトは5.1のまま?)
3. つぎに、englishサイトなら"Try It Out"、日本語サイトなら、"トライアルバージョンのご請求"リンクをクリックすると、請求フォオームの作成ページに行きます。あとは解ると思います。

日本語サイトは、5.1と書いてあるようですが、間違いのようです。ちゃんと5.2がダウンロードできました。

回答No.4

grothendieck

In[7]のあたりでしているのは次の様なことです。
　真空偏極の１ループの寄与はワインバーグ2巻の(11.2.2)になります。ただし記号はワインバーグのqをp、pをkとします。(11.2.6)によってトレースの計算を行うと
　∫d^4k k[a]/(((k-p)^2 - m^2)(k^2 - m^2))
のような積分を計算しなければならないことが分かります。ここでファインマンのパラメーター公式(11.2.4)を使うと分母が一つの因子にまとまります。次元正則化を行うためにd次元としてkについての積分を行うと(11.2.13)式になります。これがOut[7]に相当するものです。残りはxについて0から1まで積分し、d→4の極限を取らなければなりません。これがIn[8]の辺りでしていることです。これからわかるようにdimensionというのは時空の次元です。次元正則化はPauli-Villarsの正則化などより計算が簡単になります。tutorialはもう少し複雑な過程(Wボゾン一つにトップクォークが二つ)のようですが、ワインバーグ2巻のp.98からp.100の計算がこうしてできます。In[10]はvirtualな粒子の運動量がjとkでファインマンパラメータ公式で積分した後、Simplifyで式を整理しているのだと思います。
　最低次の計算をするだけならばFeynmanParameterの方は要りません。Compton散乱の最低次はワインバーグ2巻(.7.24)になります。p.99にあるように
　T1 = -2(pk)tr[a,b,c,d]e'[a]k'[b]e'[c]p'[d]
のような計算が必要になります。プログラムの入力として
　In[1]:=tr[a,b,c,d]
を与えると、たぶん(8.A.6)式が出力されるので(8.7.33)が得られます。同様に他の項も計算してコンプトン散乱の断面積(8.7.38)が得られます。

補足

お返事ありがとうございます。
＞真空偏極の１ループの寄与はワインバーグ2巻の(11.2.2)になります。・・・・
難し過ぎて、手に負えないです。ワインバーグの本を見るだけで、さっぱり
理解できず、拒絶反応を示します。こんな本が理解できる人は、地球人に
化けている火星人ではないのでしょうか、、、（泣）
もっと、さっぱりした判り易い本はないのでしょうか？

＞の最低次はワインバーグ2巻(.7.24)になります。p.99にあるように
＞T1 = -2(pk)tr[a,b,c,d]e'[a]k'[b]e'[c]p'[d]
＞のような計算が必要になります。
(.7.24)の各項を、上記のように代入しないとコンプトン散乱の断面積(8.7.38)
が求まらないのですね。すると、ある程度、手計算して式を導出して、ある
部分だけ、mathematicaに計算をさせるということですね。
全自動洗濯機のように、洗濯物（計算条件）を入れたら、最後まで片付けて
くれるプログラムはないでしょうか？

PS
難し過ぎて酸欠状態で廻りが見えなくなりました。わがままをお許し願います。

回答No.3

grothendieck

No.1のプログラムについて
　既に書いた様に微分断面積はファインマン・パラメーター公式を使った積分の計算とガンマ行列の積のトレースの計算に帰着されます。例えばlowest orderのコンプトン散乱についてはワインバーグ「場の量子論2巻」p.98 の8.7.23式になります。摂動の高次になると積分やガンマ行列のトレースの計算は恐ろしく面倒なものになり、物理学者が音を上げたことがそもそも数式処理の始まりです。Levi-Civita tensorは場の量子論でしょっちゅう使われます。例えばhttp://library.wolfram.com/infocenter/MathSource/435/のtutorial.txtの記号で書くと
　tr[five,a,b,c,d] = 4i e[a,b,c,d]
したがって
　In[1]=tr[five,a,b,c,d]
と入力すると
　Out[1]=4i e[a,b,c,d]
と出力されると思うのですが、私はMathematicaを使える環境にないため、試すことができません。具体的な使用法は上記のtutorial.txtや引用されているComputer Physics Communications vol. 77, 286 (1993)を読む等して下さい。

No.2のプログラムについて
　このプログラムはNo.1と違って微分断面積が直接出力され、またWeinberg-Salam理論などより広い範囲に適用できる（そのかわりtree levelしかできない）ようです。場の量子論にしては簡単すぎるとはtree levelに満足できないということでしょうか。その場合はQEDではNo.1の方を使うと良いでしょう。

お礼

grothendieckさん、お返事ありがとうございます。

本日、図書館で、ワインバーグ「場の量子論」やF. ハルツェン, A.D. マーチン「クォークとレプトン」等の本を借りて、No.1とNo.2のプログラムについて、意味を考えたいと思います。難しくて、わからないかもしれませんが、試してみます。

追伸
grothendieckって、どういう意味でしょうか？

補足

こんにちは、

No.1のプログラムについてチュートリアルを読んで、mathematicaで少し計算しました。下記について教えて下さい。

質問１．チュートリアルの計算例で、

In[7]:= fp[k[a]/(((k-p)^ 2-m[w]^ 2)(k^ 2-m[t]^ 2)^ 2),k]

In[8]:= Integrate[ Evaluate[% /. d->4], {x[1],0,1}]

In[10]:= Simplify[ FeynmanParameter[(k[a]+j[a])p[a]k[b]/(((k-j)^2-m[h]^2)^2
(k k-m[t]^2)^2 (j j-m[t]^2)^2),j,k] ]

とありますが、何を計算しているのでしょうか？本（たとえばワインバーク「場の量子論」や「クオークとレプトン」）に計算式は記載されているでしょうか？

質問２．このFeynmanParameter[] や trace[]　を使用して、例えば、具体的に「クオークとレプトン」　p126 のMoller散乱やp148　Compton散乱はどのようにして計算するのでしょうか？
プログラムをご教示頂きましたら幸いです。それを見れば、プログラムの使い方がよくわかると思われますので、是非、お願いいたします。

質問３．Dimension　は、何でしょうか？

追伸
場の量子論は、理解しておりませんが、研究室等で計算されているその雰囲気だけでも味わってみたいと思い質問させて頂いております。ご容赦願います。

回答No.2

grothendieck

下記URLのプログラムは高エネルギー物理学のファインマンダイアグラムのSymbolic calculation のためのものであり、例にコンプトン散乱もあるのでこらの法が良いかもしれません。（わたしはこれも使用経験がありません）

参考URL：

http://library.wolfram.com/infocenter/MathSource/4580/

補足

お返事ありがとうございます。

コンプトン散乱のプログラムは、下記でしょうか？
場の量子論にしては、簡単すぎるような気がします。
下記は、下から７つ目をダウンロードしました。

\!\(Clear[p1, p2, p3, p4, s, t, u, me, mu, nu, SpaceTimeDimension]\n
PrepareIndex[mu, nu]\n
SetMass[{Electron, me}]\n
SetMandelstam[{p1, p2, p3, p4}, {me, 0, me, 0}, s, t, u]\n
mm = MasslessVectorPolarization[p2, mu]\ MasslessVectorPolarization[p4,
nu]\ SpinorUbar[
p3] ** \((Vertex[Electron, Electron, {Photon, p4, nu}] **
Propagator[{Electron, p1 + p2}] **
Vertex[Electron, Electron, {Photon, p2, mu}] +
Vertex[Electron, Electron, {Photon, p2, mu}] **
Propagator[{Electron, p1 - p4}] **
Vertex[Electron, Electron, {Photon, p4, nu}])\) ** SpinorU[p1]\n

me = 0\n
me2 = Together[
Expand[Contract[
AbsSquared[mm], {mu, nu, Conjugate[mu], Conjugate[nu]}]]]\n
me2 = Factor[me2 /. \\[InvisibleSpace]t \\[Rule] 2\ me\^2 - s - u]\n
cc = CrossSection[me2, p1 \\[Rule] {0, 0, \@s\/2, \@s\/2},
p2 \\[Rule] {0, 0, \(-\(\@s\/2\)\), \@s\/2}, Cylindrical[p3, p4],
Mandelstam \\[Rule] {u}]\n
cc = cc /. \\[InvisibleSpace]{a_, \(-1\), 1} \\[RuleDelayed] {a, \(-cut\),
cut}\n
result = \((Collect[#1,
Log] &)\) /@ \((\(Factor[Evaluate[cc]] /. \\[InvisibleSpace]
Log[a_] \\[RuleDelayed] Log[Factor[a]]\) //. \\[InvisibleSpace]
a_\ Log[b_] + c_\ Log[d_] \\[RuleDelayed]
a\ Log[b\/d] /; a + c === 0)\)\)