円の問題

質問

放物線y=x^2上に原点Ｏと異なる2点Ａ，Ｂをとり、そのx座標をそれぞれa,a+1とする。点Ａが原点に近づくとき△ＡＢＯの外接円はどんな円に近づくか。（円の方程式を求めよ）

イメージ的には理解できて図に書いて円の方程式も求めました。
でも、数学的には解けません。
自分の考えとしては

x^2+y^2+lx+my+n=0
に座標の値Ａ(a,a^2),Ｂ((a+1),(a+1)^2),Ｏ(0,0)を代入して

n=0
a^2+a^4+la+ma^2=0
(a+1)^2+(a+1)^4+l(a+1)+m(a+1)^2=0

をlim(a→0)として解こうとしたんですがこれではlとmが求まりません。

ちなみに図から求めた求めた式は
x^2+(y-1)^2=1
となりました。

どなたか教えてください。よろしくお願いします。

回答No.3

eatern27 · ベストアンサー

＞(x-m)^2+(y-n)^2=r^2
＞からどのようにして
＞m + n = 1
＞になったのか分からないので、できればその過程の説明もお願いします。

細かいことを言えば、lim[a→0]m+lim[a→0]n=1ですね。

x^2+y^2+lx+my+n=0から2+l+m=0が導けるのは分かりますか？(これも細かいことを言えば2+lim[a→0]l+lim[a→0]m=0です)

分かるのなら、これと同じ事を
(x-m)^2+(y-n)^2=r^2
にやれば求まります。
幾何的には、円の中心が原点と(1,1)(=(a+1,(a+1)^2)の極限)の垂直二等分線上にある、という事ですね。

余談ですが、
a+a^3+l+ma=0
(a+1)^2+(a+1)^4+l(a+1)+m(a+1)^2=0
をa→0とした式を連立して、l,m(の極限)を求めたのでしょうか？

そうだとしたら、この解き方は満点の解き方ではありません。

確かに、l,mのa→0での極限が存在する、という事が分かっていれば正しいのですが、極限が存在する保証はないので(幾何的に考えれば、ありそうだ、と予想できますが)、厳密には、l,mのa→0での極限が存在する、という事をこれとは別に証明する必要があります。

ですので、細かいことを言えば、
a+a^3+l+ma=0
(a+1)^2+(a+1)^4+l(a+1)+m(a+1)^2=0
を連立して、(後者の式はa+1で割っておいたほうが楽)
l,mをaの式で表してから、a→0の極限を考える、みたい方針の方がいいと思います。

お礼

前回答に続き、回答ありがとうございます。
理解するまで時間かかりましたが納得いきました。

＞細かいことを言えば、lim[a→0]m+lim[a→0]n=1ですね。
どうやらこの辺の理解が浅かったようです。

＞a+a^3+l+ma=0
＞(a+1)^2+(a+1)^4+l(a+1)+m(a+1)^2=0
＞をa→0とした式を連立して、l,m(の極限)を求めたのでしょうか？
＞そうだとしたら、この解き方は満点の解き方ではありません。
まさにこの解き方で解いていたので、とてもありがたかったです。

＞l,mをaの式で表してから、a→0の極限を考える、みたい方針の方がいいと思います。
極限の理解がしっかりできて、かなり納得できました。

回答No.2

eatern27

＞a^2+a^4+la+ma^2=0
の両辺をaで割った式と

＞(a+1)^2+(a+1)^4+l(a+1)+m(a+1)^2=0

をa→0とすれば、求まりませんか？

お礼

回答ありがとうございます。
すごく納得のいく回答だったのですっきりしました。
円の方程式がちゃんと求まりました。

＞a^2+a^4+la+ma^2=0
＞の両辺をaで割った式と
どうやらここの計算が抜けていたようです。

回答No.1

cubics

x^2+y^2+lx+my+n=0
ではなくて、
(x-m)^2+(y-n)^2=r^2
ではいけないんでしょうかね。
これだと、m + n = 1 になるけど。
m = 0 は、幾何学的にそうなるから、ってのはだめなのかな・・・。

お礼

さっそくの解答ありがとうございます。

すみませんが
(x-m)^2+(y-n)^2=r^2
からどのようにして
m + n = 1
になったのか分からないので、できればその過程の説明もお願いします。
本当にすみません。