微分

質問

すみません
lim(x→π) tanx/π-x
で答えは-1なのですがどこの部分で-になるのか教えてください

回答No.5

shibainumodoki · ベストアンサー

まず lim(x→π) tanx/π-x = －lim(x→π) tanx/x-π　ですね。
ここで、微分の定義　x→aで {f(x)-f(a)}/(x-a) =f ' (a) を思い出します。

ここで、f(x)=tanx と置けば、f ' (x)=1/(cosx)^2 です。
今、f(π)=tanπ=0, f ' (π)=1/(cosπ)^2 =1 より、
lim(x→π) tanx/π-x = －lim(x→π) tanx/x-π
　=－lim(x→π) {f(x)-f(π)}/(x-π) =－f ' (π)=－1/(cosπ)^2 =－1 　ではないでしょうか？

回答No.4

endlessriver

tan xはx=π 近傍で単調増加でtan π=0。
π-x はx=π 近傍で単調減少で π-x=0。
すなわち、x<πなら、tan x<0, π-x>0。
x>πなら、tan x>0, π-x<0。

したがって、x=π 近傍では、はじめからtan x/(π-x)は負です。

回答No.3

noname#14584

πは定数項なので3や5や1のときと同じように，微分をすれば消えます.

回答No.2

m234023b

こんにちわ☆
あなたの学年がわからないのですがタイトルにあるようにロピタルの定理を用いるのはいかがでしょうか？
lim tan x/(π-x)　←分母分子xで微分する
=lim 1/cos^2 x * (-1)
=-1
となります

補足

すみませんありがとうございます。
社会人なのですが微積を勉強し直さなくてはいけなくなり
今、四苦八苦しながら勉強しています。学生の時にもう少しまじめにしていればと反省しています。とほほ・・・
初歩的な事なのかもしれないのですが、
lim tan x/(π-x)　←分母分子xで微分する
とあるのですが分子の1/cos^2は理解できるのですが
分母の(π-x)をxで微分したときに－１なのか理解できませんπはどうなるのですか？
すみません初歩的な事をお聞きしてよろしくお願い致します。

回答No.1

ElectricGamo

t=x-π とおけば
　lim(x→π) tanx/(π-x)
　=lim(t→0) tan(t+π)/(-t)
　=-lim(t→0) tan(t+π)/t
　=-lim(t→0) tant/t
　= -1