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初めまして。blue_monkeyと言います。 問題を次の変分問題の計算として理解し、説明させていただきます。blue_monkeyの理解が間違っていましたら、読み捨ててください。 問題 (1) E[G]=∬ (∇×(Gx(x,y,x),Gy(x,y,z),Gz(x,y,z)))^(2) dx dy dz (1)式について(2)の変分を求める。 (2) δE=E[G+δG]-E[G] 【ヒント?】 (1)ガウスの定理 ∬∇・(Ax,Ay.Az) dx dy dz=∬(Ax,Ay,Az)・(dSx,dSy,dSz) (2)ベクトル解析の公式(この式については特に説明をしません。手計算で確認していただければ幸いですぅ~) (3) ∇・((Ax,Ay,Az)×(Bx,By,Bz)) =(∇×(Ax,Ay,Az))・(Bx,By,Bz)-(∇×(Bx,By,Bz))・(Ax,Ay,Az) 【蛇足計算】 以下の計算では、ベクトルG、A、BをVG、VA,VBと記述します。 また、体積素片dxdydzをdrと略記させていただきます。 ベクトル成分の積は、実数と同じ交換則(可換)が成り立つとします。 δE=∬∇×(VG+δVG)・∇×(VG+δVG)-∇×(VG)・∇×(VG) dr ベクトル関数VGの変分の一次の項までを取ると(δVGの2次以上の高次の項は考えない)、 =2*∬∇×(VG)・∇×(δVG) dr (4) (3)式にて、VA=δVG、VB=∇×VGとして、代入します。 (5) ∇・(δVG×(∇×VG)) =(∇×δVG)・(∇×VG)-(∇×(∇×VG))・δVG (5)式の両辺をx,y,zで積分を行います。 ∬∇・(δVG×(∇×VG)) dr =∬(∇×δVG)・(∇×VG)-(∇×(∇×VG))・δVG dr 上記式は、右辺の2項を左辺に持っていき整理すると、 (6) ∬(∇×δVG)・(∇×VG)dr =∬∇・(δVG×(∇×VG)) +(∇×(∇×VG))・δVG dr (6)式を(4)式に代入すれば、 δE=2*∬∇・(δVG×(∇×VG)) +(∇×(∇×VG))・δVG dr 第1項はガウスの定理を利用することで、境界面での積分となります。 dVSを面素辺ベクトルとします。 =2*∬(δVG×(∇×VG))・ dVS +2*∬(∇×(∇×VG))・δVG dr 境界面で、変分δVG=V0(注:V0は(0,0,0)の0ベクトルの意味)になることを想定して、第1項の境界での面積分は0として落とします(あるいは、境界を無限円にとり、想定するベクトル場が0になることを仮定して面積分を落とします)。 δE[G]=2*∬(∇×(∇×VG))・δVG dr 誤記、誤計算、ウソがありましたらゴメンナサイ。
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- brogie
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(rot(X+dX))**2 はベクトルのスカラー積ですから、各成分の積の和を求めればよいでしょう。テクテク計算すればよいことです。 計算して解らない所があれば補足して下さい。
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丁寧な回答、本当にありがとうございました。 とても助かりました。