二次関数～二つの負の解

質問

「二次方程式x二乗+4px-4p+3=0が２つの異なる負の数の解をもつとき定数pの値の範囲を求めよ」という問題があるのですが、どう求めればいいのかわかりません；；今高3なので数Iの問題は復習という形になるのですが、やはり一年の頃から理解できてなかったようでサッパリです。
f(x)=という形に直して求めればよいのでしょうか？

問題集に答えは載っているのですが、解説や途中経過が全く載っていないので困っています（ちなみに答えは1/2＜p＜3/4でした）。
どなたか途中経過を説明して下さると幸いです。

回答No.3

stone_wash · ベストアンサー

分からないときは、視覚的にグラフを書いてみましょう。

異なる２つの異なる解を持ち、両解は負を満たすグラフを書いてみて。紙に直交座標と放物線を書くだけだけど。

考えると、与式=f(x)=(x+2p)^2-4p^2-4p+3としたとき。
異なる2解を持つならば-4p^2-4p+3<0である必要があります。

さらに、解が共に負ならば、グラフを書いていると。

関数f(x)の頂点(軸)より左に存在する解が負であるなら軸x-2p<0である必要があります。

さらにもうひとつの、関数f(x)の頂点（軸）より右に存在する解が負であるには、関数f(x)とｘ＝0のグラフとの交点のｙ座標が正である必要があるのでf(0)=-4p+3>0である必要があります。

したがって、
-4p^2-4p+3<0
x-2p<0
f(0)=-4p+3>0
を同時に満たす範囲が回答となります。

とまぁ、多分あっている気がします。
検算してないし、ロートル選手なのでｗ
それにもっとスマートなとき方があると思います。

また蛇足ですが、確か有名大学の数学の問題で、計算だけでやろうとするとものすごく時間がかかるが、グラフを書いてみると5分で解けるといった問題に出会ったことがあります。
まずはグラフを各習慣をつけた方が何かといいですよ。

お礼

わかりやすい説明どうもありがとうございます。
グラフを書く習慣ですか…参考になります。確かにグラフを最初に書いてから解いた方がわかりやすいですね。
問題も無事解くことができました。どうもありがとうございました。

回答No.6

springside

No.5です。補足です。

グラフで解く方法は、
　(1)判別式の符号
　(2)放物線の軸の位置
　(3)端点などの特定の点における符号
の３つを全て考慮しなければなりませんので、注意が必要です。これはこれで身につけておくことが必須です。

ただ、No.5のように、解と係数の関係を使って計算だけで解く方法も身につけておくといいです。
この問題では、「２解が負」という条件でしたが、例えば、「２解が両方とも３より大きい」などという場合でも使えます。
α>3、β>3なので、α-3>0、β-3>0である。よって、
　(α-3)+(β-3)>0、(α-3)(β-3)>0
となるから、これらを展開して、解と係数の関係を用いてα+β、αβを係数の式に置き換えて不等式を解けばいい。

注：この場合、α>3、β>3だからといって、
　　　α+β>6、αβ>9
　　としてはダメです。あくまでも、0と比較しなければなりません。

お礼

詳しい説明どうもありがとうございます。
注意点等、よく読ませて頂きました。今回は一応グラフを書いた上で求めてみたので(1)(2)(3)はそれとなく理解できた気がしますが、これから同じような問題をといてしっかり身につけたいと思います。
下記のお礼でも申し上げましたが、グラフを使わずに計算する方法も参考にしたいと思います。
補足ありがとうございました。

回答No.5

springside

この手の問題は、下記の回答のようにグラフで解くのが定石です。
ただ、以下のように計算だけで解く方法もあります。これは、グラフの形状や位置関係を考えなくても、計算するだけで機械的に解けるという利点があります。

まず、
　判別式＞0・・・(1)

解をα、βとすると、α<0、β<0で、これは、下記と同値。
　α+β<0　及び　αβ>0
解と係数の関係から、α+β=-4p、αβ=-4p+3なので、
　-4p<0　及び　-4p+3>0・・・(2)

(1)、(2)よりpの範囲が判る。

・判別式を考える
・α+βとαβの符号を考える
という２点がミソです。

お礼

グラフを書かずに計算だけで解ける方法もあるんですね。とても参考になります。
どうもありがとうございました。

回答No.4

uprilia

二次方程式ax^2+2b'x+c＝０の解は
ｘ＝（-ｂ'±√（b’^2-ac））/aで与えられるので、
判別式D=b’^2-ac＞0が成り立てば、2つの実数解を持つ事になります。
a=1,b'＝2ｐ、c=-4ｐ＋3ですから、
（2p)^2-1*（-4p+3)>0
∴p<-3/2、1/2<p・・・（1）

次に、解が負であればよいので、a=1>0であるから、あとは、-ｂ’±√（b’^2-ac）＜0が成り立てばok。
つまり、ｂ＞0、ac＞0が必要。
b=2p>0、1*(-4p+3)＞0
∴p>0、p<3/4・・・(2)

(1),(2)から、1/2＜p＜3/4

お礼

まず最初にＤが判別式を意味しているという事を忘れていたどころか、判別式がどのような式だったかさえ思い出せずに基本的なところからつまずいてました；；
とても丁寧な説明をしてくださって解りやすかったです。どうもありがとうございました。

回答No.2

OGUMAN

f(x)=x^2+4px-4p+3の頂点のx,y座標が共に負
f(0)＞０

としても求められますね。1さんの方がこの場合スマートだけど。
このテの問題は、
f(x)のx軸との交わり方と軸の位置（あるいは頂点の位置）、そして端点の条件（ｙ軸とどこで交わるか等）を考えれば、大抵の問題は解けます。

お礼

ありがとうございます、どうにか問題を解くことができました。OGUMANさんの仰るｘ軸との交わり・軸の位置・端点の条件を考えつつ、他の類似問題も解いてみようと思います。

回答No.1

パんだ パンだ（@Josquin）

判別式＞０
軸＜０
f(0)＞０

お礼

簡潔な説明ありがとうございます。
ただ、問題集にもJosquinさんが書いてくださった式はヒントとして載っていたのですが、それを見てなお理解できなかったものですから…。問題は無事解けましたので、その三つの式の意味もよくわかりました。
どうもありがとうございました。