包絡線がわかりません

質問

「実数tが変化するとき、直線y=2tx - (t+1)^2 がとおりえる範囲を図示せよ」という問題なのです。定石はtの２次方程式として、実数条件より解くのだと思うのですが、包絡線で考えた場合、そのtの２次方程式に実数条件Dを使ったときに出てくる式がなぜ包絡線なのかよくわかりません。これは、直接考えるのではなくて、「tの２次方程式として、実数条件より解いた結果」から考察すると、その軌跡が曲線になるので、もとの直線 y=2tx - (t+1)^2 はその曲線の接線だということでしょうか。それと、問題文の直線 y=2tx - (t+1)^2 とこれに実数条件を使った y=x^ - 2x という式を連立すると、x=t+1 で接するということがわかると思うのですが、このx=t+1がx=3tでもx=4t+3でもtが変数なのだから、図示してみるとどれもy≦x^2 - 2x と同じ領域を表す図になると思うのですが、なぜこれは違うのでしょうか。

回答No.2

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＜解説＞
ｙ＝２ｔｘ－（ｔ＋１）^2…（１）は直線の方程式であることは言うまでもないと思う。
ちょっとここで反則なことさせてもらいたい。直線（１）は曲線ｙ＝ｘ^2－２ｘのｘ＝ｔ＋１での接線の方程式であることはわかるはずだ。このように直線の方程式で任意定数ｔがどこかについてあるものは必ずある曲線Ｃにある点で接するのである。私はｔを直接動かすと言ったが上記のことをふまえた上で解いているのである。
つまり、ｔを含む方程式はある点ｘ＝ｇ(ｔ)（ｙ＝ｈ(t)で考えた方が美しく解ける場合もある）で曲線Ｃに接するということを勘（ゴーストのささやき）で理解し、その接点を求め、接点のパラメーター表示から曲線Ｃを求めるということをやる。ここでは直線ｙ＝２ｔｘ－（ｔ＋１）^2がｘ＝（ｔ＋１）で接するということまではわからないが、ある点で接するということはわかっているものとする。

Ｌ（ｔ）：ｙ＝２ｔｘ－（ｔ＋１）^2と置く。Ｌは接点Ｐで「ある曲線Ｃ」に接しているものとする。
ｔを微少量Δｔだけ動かすとＬはＬ’まで動き、Ｃとの接点はＰからＰ’にに変わる。
さてＬとＬ’の交点をＲとする。Ｒは次の直線（１）と（２）の交点の座標である。
ｙ＝２ｔｘ－（ｔ＋１）^2＝f(t)…（１）
ｙ＝２（ｔ＋Δｔ）ｘ－（ｔ＋Δｔ＋１）^2＝f(t＋Δt)…（２）

（２）－（１）より、ｙを消去、　……………………………………………☆１
０＝２Δｔｘ－２Δｔ（ｔ＋１）－（Δｔ）^2
両辺をΔｔ＞０で割って、
０＝２ｘ－２（ｔ＋１）－Δｔ
よって接点ｘ＝ｔ＋１＋Δｔ／２＝Ｒx…………………………………………☆２

接点ｙ＝２ｔ｛（ｔ＋１）＋（Δｔ）／２｝－（ｔ＋１）^2…（１）
　　　＝ｔ^2－１＋ｔΔｔ＝Ｒy
∴Ｒ｛ｔ＋１＋Δｔ／２，ｔ^2－１＋ｔΔｔ｝…（３）
今、Δｔ→０とすると、Ｌ’→Ｌであり、同時にＰ’→Ｐ，Ｒ→Ｐとなる。

よって、（３）でΔｔ→０としたときの極限値は、……………………………☆３
Ｒ｛ｔ＋１＋Δｔ／２，ｔ^2－１＋ｔΔｔ｝→Ｐ（ｔ＋１，ｔ^2－１）であり、
点Ｐはある曲線Ｃの接点であるから、
Ｃ：（ｘ，ｙ）＝（ｔ＋１，ｔ^2－１）→Ｃ：ｙ＝(ｘ－１)^2－１＝ｘ^2－２ｘ
∴直線Ｌはｘ＝ｔ＋１で曲線Ｃ：ｙ＝ｘ^2－２ｘに接しつつ動く。

問題文より、ｔは全実数である。また曲線Ｃは下に凸の関数であるので、
求める領域は「ｙ≦ｘ^2－２ｘ」 である。

＜考察＞
原理を説明すると、上記＜解説＞のようになるが、
☆１→☆２→☆３の流れをよく見てみると、

☆１：ｆ（ｔ＋Δｔ）－ｆ（ｔ）を作る。

☆２：｛ｆ（ｔ＋Δｔ）－ｆ（ｔ）｝／Δｔを作る。

☆３：(limΔｔ→０)［｛ｆ（ｔ＋Δｔ）－ｆ（ｔ）｝／Δｔ］を計算。

となっているよね。
つまり、ｘ，ｙはｔとは無関係だから、ｙ＝２ｔｘ－（ｔ＋１）^2＝f(t)をそのままｔで微分して、ｘ＝ｔ＋１…（あっという間に接点ｘが求まる）
よって、
Ｐ：（ｘ，ｙ）＝（ｔ＋１，ｔ^2－１）…（代入してあっという間に接点ｙもまとまる）
Ｐは曲線Ｃの接点。
よって、曲線Ｃ：ｙ＝ｘ^2－２ｘ…（あっという間に包絡線！）
後は同じ。

どうですか。簡単でしょう。

お礼

お返事してくださってありがとうございます。

＞＜解説＞
「・・・・・このように直線の方程式で任意定数ｔがどこかについてあるものは必ずある曲線Ｃにある点で接するのである。・・・・」

この部分についてなのですが、任意定数tは２次以上の式だから、曲線Cに接するんですよね。tが１次の場合は、包絡点になりますよね。

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つまり、ｘ，ｙはｔとは無関係だから、ｙ＝２ｔｘ－（ｔ＋１）^2＝f(t)をそのままｔで微分して、ｘ＝ｔ＋１…（あっという間に接点ｘが求まる） よって、
Ｐ：（ｘ，ｙ）＝（ｔ＋１，ｔ^2－１）…（代入してあっという間に接点ｙもまとまる）
Ｐは曲線Ｃの接点。 よって、曲線Ｃ：ｙ＝ｘ^2－２ｘ…（あっという間に包絡線！）
後は同じ。 どうですか。簡単でしょう。

わかりました！！上の式は丁寧に微分の過程を説明していただいていたのですね。文型なので、今までは、微分するというとは接線の式を求めることだけだと思っていたのですが、上のように軌跡も求められるんですね。教えてくださった考え方でいくと、疑問のひとつの「x=t+1 で接するということがわかると思うのですが、このx=t+1がx=3tでもx=4t+3でもtが変数なのだから、図示してみるとどれもy≦x^2 - 2x と同じ領域を表す図になると思うのですが、なぜこれは違うのでしょうか。」というのもわかりました。tを動かしていく方が理解しやすいですね。
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ところで、任意定数と変数の違いがわからないのですが。どう区別すればよいのでしょうか。
それと、
＞ｘ，ｙはｔとは無関係だから、ｙ＝２ｔｘ－（ｔ＋１）^2＝f(t)をそのままｔで微分して、ｘ＝ｔ＋１…（あっという間に接点ｘが求まる）

の部分にについてなのですが、ｙ＝２ｔｘ－（ｔ＋１）^2をこのままtで微分すると、0=2x - 2(t+1) になってｘ＝ｔ＋１が出てくると思うのですが、もし上の式を
f(t)=２ｔｘ－（ｔ＋１）^2 -y のようにしてから、tで微分すると、
f'(t)=2x - - 2(t+1) となって、普通のtの式になってしまうのですが、どう違うのでしょうか。
それと、微分するというのは、ある点の傾きを調べるということですよね。これは、接点を求めることとイコールなのでしょうか。