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crooked_manの回答
ちょっとくだいて説明すると、 「定義」は、「こう定めましょう」という意味です。 たとえば、「畑でそだった食べ物を野菜と定義する」と言ったら、「畑でそだった食べ物を野菜と呼ぶことにしましょう」という意味です。「定義」は「こう決めます」ということなので逆らうことはできません。 「定理」というのは、「絶対にこういうことが成り立ちますよ」という意味です。 たとえば、「三平方の定理」は、「直角の部分がある三角形なら、『ぜったいに』成り立つ」からです。 「公理」というのは、「成り立つかどうか誰もわからないけれど、成り立つということにしましょう」という意味です。たとえば、「いくらのばしても交わらない2本の直線が引ける」（平行線といいますよね）というのは、誰も確認することはできませんが、みんな「多分平行線というのはあるだろう」と信じているので「公理」と言います。信じてはいるけど、ほんとうに平行線が引けるかどうかは、わからないですよね。 ちなみに、「平行線なんて引けない」と信じる人もいます。宇宙の先は空間が曲がっているのでまっすぐな線を引いたように見えても途中でどうやっても交わってしまうのです。これはまた別の「公理」ですよね（なんとなくわかりますか？）。こういうのを非ユークリッド空間とか言います。（大学で数学を専門にやると学びますけど。）そうやって信じて数学をやると、平行線は引けると信じて数学をやるのと同じくらい、かっこいい数学ができることがわかっています。 （なんでもかんでも信じていいというわけじゃないんです。たとえば、宗教もそうですよね。それぞれ独自の考え（＝公理）がありますけど、「人を殺してもOK!」なんて考えのもとに理論を作ろうとすると、いつか無理がでてきちゃいます。でも、「平行線はぜったいに引けない」と考えて数学をやっていっても、筋のとおる数学の世界が生まれることがわかっています。なので、平行線は交わるかどうかは誰もわかりませんが、とりあえず、交わらないと思う人が多いので僕たちは交わらないと決め付けて数学をやってるわけです。） 信じるかどうかで数学はがらりと変わってしまうんです。僕たちがやっている数学が、実は大間違いだった、なんて日もくるかもしれません。 ほかにも、僕たちはいろんなことを「決め付け」て数学をやっていますよ。たとえば、一番基本的なのは、「＋の公理」というやつで、「いつでも、次の数がありますよ」という公理です。確かにそんな気もしますが、突然数がストップしてしまう可能性もゼロとはいえないですよね？？ ただし、「突然数がストップしてしまう」と信じて数学をやると、あまりいい数学の世界が作れない、ということがわかっています。 なんか難しくてすみませんけど、なんとなくわかってもらえたでしょうか？？
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