三角関数

質問

先程も質問させていただいたのですが、まだ三角関数で引っかかるところがあったので質問させてください。

全ての式においてθを求めます。

1)次の式を0°≦θ≦360°の範囲内で答えなさい。
sin^2θ-5sinθcosθ=0

sinやcosに統一すべきなのでしょうが、どのようにして統一したらいいかが判りません。

2)次の式を-π≦θ≦πの範囲内で答えなさい。
tan^3θ-4tan^2θ+tanθ+6=0

こちらは既にtanに統一されているのですが、３乗の処理の仕方や、正直何をすべきだかが判りません。

3)次の式を-180°≦θ≦180°の範囲内で答えなさい。
2cos^3θ=3sinθcosθ

この計算は以下までやりました。
2cos^3θ/cosθ=3sinθcosθ/cosθ
2cos^2θ=3sinθ
2(1-sin^2θ)=3sinθ
2-2sin^2θ=3sinθ
-2sin^2θ-3sinθ+2=0
2sin^2θ+3sinθ-2=0
(2sinθ?????)(sinθ?????)
ここでは因数分解ですよね？

最後の質問です（多くて申しわけありません）
3)次の式を0≦θ≦2πの範囲内で答えなさい。
4tan^3θ-4tan^2θ+tanθ=0

この式も一応挑戦してみました
4tan^3θ-4tan^2θ+tanθ/tanθ=0/tanθ
4tan^2θ-4tan^2θ+tanθ=0
tanθ=0
θ=tan^-1(0)
θ=0？
このような解答になってしまいました。

初歩的なものもありますがお願いいたします。
一問でも良いので、説明していただけたら幸いです。

回答No.1

cecfca · ベストアンサー

とりあえず全問解いてみました。
が、気になる点がいくつか。。
これは問題集かプリントか何かの問題ですよね？
１）は、答えは一応定まるのですが、ちょっと問題集に出てくるような、ハッキリした答えが出るような問題ではないんですよね。。問題の写し間違いがないか確認してみて下さい。
２）と４）は、多分「tanθの値を求めよ」という問題だと思います。tanθの値はきれいに出ますが、θの値はきれいには出ませんね。。

では、解法の簡単な方針を示してみます。
１）左辺の項にはすべてsinθが入っていて、右辺は０です。つまり、この式はとても簡単にできますよね？ただし、「０で割ることはできない」という大前提を忘れないように。
２）tanθに統一されているという着眼点はバッチリです。sin,cos,tanのいずれか一つに統一できた時は、xなり、別の記号に置き換えてみて下さい。スッキリわかりやすくなります。tanθの範囲にも注意して下さい。
３）そのやり方で完璧です！・・・と言いたい所ですが、細かいことを忘れていますよ。１）に書いたことを見て下さい。あとは因数分解すれば、めでたく解が出ます。
４）最初の一行の発想は正解です。（しつこいようですが、１）に書いたことを参照）ただ、2行目から計算が崩壊してますね。。

上記のことを参考にして、自力で解いて下さいね。
がんばって下さい！！

お礼

ご回答ありがとうございます！
恐らく、ぴったりとした答えが出ないものなのだと思います。
ご回答を参考に早速問題に取り組んでみようと思っています！

回答No.4

proto

基本的に因数分解してから、合成や和積の公式で解けるようですね
(1)の問題だけ少しアドバイスすると

(sin(x))^2=(1-cos(2x))/2
(cos(x))^2=(1+cos(2x))/2
sin(x)*cos(x)=sin(2x)/2
より
(1)のような形の問題はsin(2x)とcos(2x)と定数項だけの形にしてまとめることができます

f(sin(x)^2,cos(x)^2,sin(x)cos(x))
　　⇔g(sin(2x),cos(2x))
ってことで
この解き方も覚えておけば役に立つかも知れません

お礼

ご回答ありがとうございます！
因数分解をしてから、が基本ですね。解き方の方を覚えておこうとおもいます！
ご回答を参考に早速問題に取り組んでみようと思っています。

回答No.3

atsu2002

まず加法定理を覚えていますか？
Sin(A+B)=SinA・CsaA＋CosA・SinB・・・(あ)
Csa(A+B)=CsaA・CosB－SinA・SinB・・・(い)
ですが、(あ)のＡ・Ｂをともにθにすれば(１)の解は見えてきませんか？

(２)は ｔanθ＝ｘ　と置いてｘの３次方程式。しかもθの範囲を考えるとｘはすべての実数になります。

(３)は(い)の式のＡ＝２θ　Ｂ＝θ　とか置いて変形しましょう。後は因数分解などで解けると思います。

(４)も(２)と一緒ですが、範囲がなんか・・・。
０≦ｔａｎ≦２π　ですか？なんかしっくりしませんが、同じくすべての実数です。

それと　Ｓiｎ２θ÷Ｓｉｎθ＝Ｃｏｓθ　です！
Cos３θ÷Cosθ＝(Cos2θ・Cosθ－Sin2θ・Sinθ）÷Cosθ
ですので間違えないように！
面倒くさい計算になりますから・・・。

お礼

ご回答ありがとうございます！
加法定理を利用すればいいんですね！良くわかりました。まだまだ数学も習う事がいっぱいありそうです。
ご回答を参考に早速問題に取り組んでみようと思っています。

回答No.2

pyon1956

No.1の方がおっしゃっていることですが、「等式を変形するのに両辺を割っていいのは０以外の数で割るときに限られます。文字や式（sinなども含む)で割ってはいけません。ただしこれらの文字や式が絶対に0にならないことが明らかであれば別です。こういうときは因数分解がセオリーです。
1) sinΘ(sinΘ-5cosΘ)=0よりsinΘ=0またはsinΘ-5cosΘ=0
sinΘ=0はいいのですが、sinΘ-5cosΘ=0は三角関数の合成をしてもΘが明確な数にはなりません。
√26{sin(Θ+α)=0となるのですがこのαが高校数学の範囲ではきっちり表せないからです。
2)移項して2cos^3Θ-3sinΘcosΘ=0,
cosΘでくくってcosΘ(2cos^2Θ-3sinΘ)=0
以下おっしゃるように因数分解して、あとはsinΘの範囲に注意してください。
3)これはtanΘ=tとおくとt^3-4t^2+t+6=0
t=-1はこの式を満たすので因数定理で(t+1)でくくります。以下は簡単に因数分解できますね。ただしこの場合も1)と同様にΘはひとつを除いてtanΘ=2となるΘとかいう書き方しかできませんが。

お礼

ご回答ありがとうございます！
0についてのご説明、やっと納得がいきました。
ご回答を参考に早速問題に取り組もうと思います！