虚数の問題です

質問

「複素数の問題です。虚数aは次の条件をみたしている。α,α^2,α^3,α^4,α^5は相異なり、これら５つの数を解に持つ実数係数の５次方程式が存在する。｜α｜= 1を示してください。」という問題です。

複素数平面でαがどういう値か求めるにはどうすればよろしいでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.7

guiter

＞計算してみますと、α^6 = 36(ab)^4 - 16(ab)^4 + 24(ab)^5
＞になりました。
ここからだと a,b を求めにくそうです。
次の計算を参考にしてみて下さい。

　(a+bi)^6 = 1
⇔(a^6 - b^6 - 15a^4b^2 + 15a^2b^4) + (6a^5b + 6ab^5 - 20a^3b^3)i = 1
⇔(a^2 - b^2)(a^4 + b^4 - 14a^2b^2) + 2ab(3a^4 + 3b^4 - 10a^2b^2)i = 1
⇔(2a^2 - 1){(a^2+b^2)^2 - 16a^2(1-a^2)} + 2ab{3(a^2+b^2)^2 -16a^2(1-a^2)}i
= 1
⇔(2a^2 - 1)(16a^4 - 16a^2 + 1) + 2ab(16a^4 - 16a^2 + 3)i = 1

したがって
　(2a^2 - 1)(16a^4 - 16a^2 + 1) = 1　　　…(1)
　ab(4a^2 - 1)(4a^2 - 3) = 0　　　…(2)
の２式を同時に満たす a を求めます。

(2)式より
　・ a=0 のとき　(1)式の左辺＝－１となり解なし。
　・ b=0 のとき　a^2+b^2=1 から a=±1 となりこれは(1)式を満たすのでＯＫ。
　・ 4a^2-1=0 のとき　a=±1/2 は(1)式を満たすのでＯＫ。
　・ 4a^2-3=0 のとき　a=±√3/2 は(1)式を満たさないので解なし。
以上より
　a=±1,±1/2
が求まったので、それぞれの a に対する b を a^2+b^2=1 から求めると
　(a,b) = (1,0) (1/2,√3/2) (-1/2,√3/2) (-1,0) (-1/2,-√3/2) (1/2,-√3/2)
の６つの解が出てきます。
これらの点は、複素平面の単位円上で点(1,0)から反時計回りに 60°ごとに現われて
います。
１の６乗根を求める方程式を解いたわけですから当然の結果なわけです。

このうち、(±1,0) はαが実数になるので不適。
また、(-1/2,±√3/2) は１の３乗根になっていてα^4=αとなるので不適。
結局、問題の条件を満たすαは
　α=(1±i√3)/2
の２つとなります。

今、αがどちらであっても集合{α,α^2,α^3,α^4,α^5} は変わりません。
上で求めた６点のうち (1,0) を除くものになっているはずなので、
確認してみてください。
このとき、５次方程式は
　k(x-α)(x-α^2)(x-α^3)(x-α^4)(x-α^5) = 0 (kは定数)
にαの値を代入すれば出てきます。
ここでは少し工夫して、今は回答 No5 の (1)α^5=α* の場合ですから
　α^5=α*
　α^4=(α*)^2　　（α^5=α* の両辺にα*をかけて得る）
　α^3=(α*)^3=-1
となります。これを使うと
　k(x-α)(x-α^2)(x-α^3)(x-α^4)(x-α^5) = 0
⇔k(x-α)(x-α*)(x-α^2)(x-(α*)^2)(x+1) = 0
⇔k{x^2-(α+α*)x+1}{x^2-(α^2+α*^2)x+1}(x+1) = 0　　（ここでαを代入）
⇔k(x^2-x+1)(x^2+x+1)(x+1) = 0
⇔k(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1) = 0
が出ます。

(a+bi)^5=1 の場合も
　(a+bi)^5=1
⇔a(a^4 + 5b^4 - 10a^2b^2) + b(5a^4 + b^4 - 10a^2b^2)i = 1
⇔a(16a^4 - 20a^2 + 5) + b(16a^4 - 12a^2 + 1)i = 1
のように変形し、同様のことをすれば
　a=1,(√5-1)/4,-(√5+1)/4
の３つが求まり、
　(a,b) = (1,0) ( (√5-1)/4,±{√(10+2√5)}/4 )
-(√5+1)/4,±{√(10-2√5)}/4 )
の５つがαの候補になります。このうち、(1,0) だけが消えますね。

また、この場合の５次方程式は
　α^5=1
　α^4=α*
　α^3=(α*)^2
などから、
　k(x-α)(x-α^2)(x-α^3)(x-α^4)(x-α^5) = 0
⇔k(x-1)(x-α)(x-α*)(x-α^2)(x-(α*)^2) = 0
⇔k(x^5-1) = 0
と出ます。