虚数の問題です

質問

「複素数の問題です。虚数aは次の条件をみたしている。α,α^2,α^3,α^4,α^5は相異なり、これら５つの数を解に持つ実数係数の５次方程式が存在する。｜α｜= 1を示してください。」という問題です。

複素数平面でαがどういう値か求めるにはどうすればよろしいでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.6

guiter

文系の方ということですので、もう少しアドバイスをしたいと思います。
No5 の回答を次のようにすれば、複素数の極表示を使わずに出来ます。

すると、今の場合αの複素共役α*も解なので
α*はα^2,α^3,α^4,α^5 のどれかに等しいことになります。
ここで、n が整数で
　α* = α^n
が成り立つとき α = a+ib とすると
　a-ib = (a+ib)^n
となるので両辺の絶対値をとると
　|a-ib| = |a+ib|^n
⇔√(a^2+b^2) = (√(a^2+b^2) )^n
⇔(√(a^2+b^2) )^(n-1)
すなわち |α| = |a+ib| = √(a^2+b^2) = １であることがわかります。
以下、|α|=１として話を進めます。

(1)α^5=α*のとき
　　α^6 = αα^5 = αα* = 1
　したがって、αは１の６乗根ですから
　　(a+ib)^6 = 1
　を解くことになります。少し大変ですが a^2+b^2 = 1 などをうまく使ってくださ
い。
　余分な解も出てきますが、条件を満たすものは
　　α = e^(±iπ/3) = (1±i√3)/2
　になるはずです。
　このとき、５次方程式は k(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1) = 0 となります。

(2)α^4=α*のとき
　　α^5 = αα^4 = αα* = 1
　したがって、αは１の５乗根ですから
　　(a+ib)^5 = 1
　を解くことになります。こちらのほうが解くのが難しいかもしれませんが頑張って
みてください。
　　α = {(√5-1)±i√(10+2√5)}/4 , {-(√5+1)±i√(10-2√5)}/4
　の４通りが出てきます。
　このとき、５次方程式は k(x^5-1) = 0 となります。

(3)α^3=α*のとき
　　α^5 = α^2 α^3 = (αα)α* = α　であるから不適。

(4)α^2=α*のとき
　　α^4 = α^2 α^2 = (αα)α* = α　であるから不適。

以上です。

(1)で出てきた解から求まる集合 {α,α^2,α^3,α^4,α^5} は
複素平面上の単位円の周上で正六角形の頂点になっています（頂点(1,0)を除いた５
つ）。
また、(2)で出てきた解から求まる集合 {α,α^2,α^3,α^4,α^5} は
複素平面上の単位円の周上で正五角形の５つの頂点になっています。

お礼

お返事していただいてどうもありがとうございます。
きっちりと理解しておきたかったので、とても助かります。

＞余分な解も出てきますが、条件を満たすものは
　　α = e^(±iπ/3) = (1±i√3)/2
　になるはずです。
　このとき、５次方程式は k(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1) = 0 となります。

計算してみますと、α^6 = 36(ab)^4 - 16(ab)^4 + 24(ab)^5
になりました。それと、すいません、α = e^(±iπ/3) = (1±i√3)/2 は何を表しているのかわかりません。
それと、
＞このとき、５次方程式は k(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1) = 0 となります。 　

もよくわからないのですが、どのように考えればよろしいのでしょうか。何度もお聞きしてしまってすいません。