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虚数の問題です
guiterの回答
- guiter
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stomachman さんには珍しく基本的なところで見落としがあるようです。 A[4]=α+α^2+α^3+α^4+α^5 = 0 の場合がありますね。 この場合、(α^2+α^4) 、α^3 が実数である必要がありません。 少し計算が大変なので、No3 の回答の方針でやってみます。 まず、実数係数の多項式 f(z) の解の一つが a+bi であるなら その複素共役 a-bi も解であることは簡単に確認できます。 すると、今の場合αの複素共役α*も解なので α*はα^2,α^3,α^4,α^5 のどれかに等しいことになります。 ここで、n が整数のとき α* = α^n が成り立つとき α = re^(iθ) とすると re^(-iθ) = r^n e^(inθ) となるので両辺の絶対値をとると r=1 すなわち |α|=1であることがわかります。 以下、|α|=1として話を進めます。 (1)α^5=α*のとき α^6 = αα^5 = αα* = 1 したがって、αは1の6乗根ですから α = e^(i2nπ/6) = e^(inπ/3) です。αの偏角θを -π<θ≦π とすると n=-2,-1,0,1,2,3 ですが n=±1 の二つが重解を持たないという条件を満たすものです。 stomachman さんの回答にあるように α = e^(±iπ/3) = (1±√3)/2 です。 どちらを選んでも集合{α,α^2,α^3,α^4,α^5}としては変わらないことは すでに stomachman さんが書かれているとおりです。 このとき、5次方程式は k(x^5+x^4+x^3+x^2+x+1) = 0 となります。 (2)α^4=α*のとき α^5 = αα^4 = αα* = 1 したがって、αは1の5乗根ですから α = e^(i2nπ/5) です。こんどは n=-2,-1,0,1,2 のうち n=0 だけが不適です。 α = e^(±2π/5) , e^(±4π/5) = cos(2π/5)±sin(2π/5) , cos(4π/5))±sin(4π/5) = {(√5-1)±i√(10+2√5)}/4 , {-(√5+1)±i√(10-2√5)}/4 の4通りです。 (1)と同じくどれを選んでも集合{α,α^2,α^3,α^4,α^5}としては変わりません。 このとき、5次方程式は x^5-1 = 0 となります。 (3)α^3=α*のとき α^5 = α^2 α^3 = (αα)α* = α であるから不適。 (4)α^2=α*のとき α^4 = α^2 α^2 = (αα)α* = α であるから不適。 >虚数αが実数になることなんてあるのでしょうか。 αが虚数という前提があるなら No3 での「αが実数だと解はすべて実数になり」という部分は気にしないで下さい。
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