３の倍数の確率

質問

大中小のサイコロのでた目をそれぞれ百、十、一位とし、３桁の整数をつくり、２又は３の倍数になる確率を求めたいのですが、３の倍数になる確率の求め方が分かりません。また、なぜ大＋中＋小が３で割り切れたら３桁の整数も割り切れるのかも疑問に思います。どなたかご教授頂ければ幸いです。

回答No.5

matsu_jun · ベストアンサー

さて、時期的には宿題じゃない可能性も高いのですが、とりあえず考え方だけ提示しますね。そのためにはまず後半部分について理解していただかなければならないので、まずこちらをどうぞ。

先に、なぜ「大＋中＋小」が3で割り切れたら3桁の整数も3で割り切れるかについて
・大きいさいころの出た目が　　　A
・中くらいのさいころの出た目が　B
・小さいさいころの出た目が　　　C
だったとしましょう。すると3桁の整数を上のA,B,Cで表現すると
　A×100＋B×10＋C
になりますね。ここで、A×100の部分とB×10の部分をそれぞれ
　A×99＋A
　B×9＋B
と書き換えてみます。すると上の式は
　A×99＋A＋B×9＋B＋C
となりますね。順番を並び替えて
　A＋B＋C＋99×A＋9×B
＝A＋B＋C＋3×(33×A＋3×B)
となりました。後ろの3×(33×A＋3×B)は、AやBの値に関わらず3で割り切れますね。
したがって、A＋B＋Cが3で割り切れれば全体が3で割り切れるということになります。

じゃあ最初の答えのヒントを
2の倍数になる確率は分かりますね。大・中のさいころの目に関わらず、小のさいころの目次第で偶数か奇数かが決まりますから。
実は3の倍数になる確率も同じ考え方でよいのです。大・中の2つのさいころの出る目のパターンは36通りありますが、大さいころの出た目と中さいころの出た目の合計は「2 (1,1の場合)」から「12 (6,6の場合)」まで11通りしかありません。そこで上で分かった3桁の整数と3桁の数字の和の関係が登場します。2から12までそれぞれについて、じゃあ小さいころの目がいくつの時に3の倍数になるでしょう？ さいころの目が1から6までの6通りであることも合わせて考えてみましょう。常に同じ確率で3の倍数になることに気づきましたか？

あとは「2の倍数または3の倍数」の「または」という部分について考えてみましょう。2の倍数になる確率は求まりましたか？3の倍数になる確率は求まりましたか？でもそれぞれの確率には「6の倍数になる確率」も含まれていますよ。だから2の倍数になる確率と3の倍数になる確率を単純に足し算すると、「6の倍数になる確率」を重複して勘定してしまうことになります。そこは気をつけるポイントです。

お礼

教育的指導ありがとうございます。全く気づきませんでした。

回答No.9

gamasan

あ～算数から離れて数十年　ボケまくってる汗
3の公倍数　って言いませんよね　倍数です
公倍数ってのは2個以上のすうの共通の倍数って意味ですから
謹んで訂正します

お礼

ありがとうございます。

回答No.8

gamasan

あ　2又はというのを見落とした　滝汗
同じように
分子　　6×6×3
分母　　6×6×6　　で1/2
ここで　1/2と1/3を単純に足してはいけません
6の公倍数がダブりますのでその分を引きます
6の公倍数は3の公倍数の半分ですから
1/2＋1/3－1/6で2/3が答え

お礼

6の公倍数は3の公倍数の半分というのはシンプルでかなり理解が容易になりました。ありがとうございます。

回答No.7

edomin

＃１です。

１４４／２１６
＝２／３
でした。

お礼

わざわざありがとうございます。

回答No.6

gamasan

111、114、123、126、132、135、141、144、
153、156、・・・・
というように　10の位までが決まれば1の位の出目の
6種類のうち2個づつあることがわかります
これは何故か　自然数は3で割ると割り切れる、1余る、
2余る。の3種類ですから連続する6つの数には
必ず割り切れる数が2個あるということです

求める確立の分子　6×6×2
分母　　　　　　　6×6×6
答えは1/3

お礼

小学生にも理解できるような説明、感謝します。

回答No.4

edomin

＃１です。
全部の場合の数は
６×６×６＝２１６（通り）
そのうち、２の倍数になるのは小が（２，４，６）の時だけなので、半分の１０８通り。
また、２の倍数以外で、３の倍数になるのは小が（１，３，５）の時で大＋中＋小＝３の倍数になるときなので
３６通り。（エクセル使用）
合計して１４４通り。

なので「１４４／２１６」

かな？

お礼

その通りでした。シンプルで分かりやすい回答に感謝致します。

回答No.3

kouzi_kouji

＞大＋中＋小が３で割り切れたら３桁の整数も割り切れるのか
　大×１００＋中×１０＋小
＝（９９＋１）×大＋（９＋１）×中＋小
＝９９×大＋大＋９×中＋中＋小
＝３×３３×大＋大＋３×３×中＋中＋小
＝３×（３３×大＋３×中）＋大＋中＋小
これで、分かると思いますが？

＞３の倍数になる確率
　大＋中＋小が３の倍数となる場合の組み合わせが何とおりあるか？その組み合わせ数を計算して、全目の出方で割る

お礼

大変ありがとうございます。

回答No.2

rmz1002

では後半だけですが、この問題での3桁の整数は分かりやすく書くと「100大+10中+小」ですよね。
これをですね、
100大+10中+小=(99+1)大+(9+1)中+小
=99大+9中+大+中+小
=9(11大+中)+大+中+小
と変形します。
このとき「9(11大+中)」の部分は「9が3の倍数」なので3の倍数確定です。
よって、残りの「大+中+小」が3の倍数であれば、元の3桁の数字も3の倍数になる、ということです。

お礼

大変ありがとうございます

回答No.1

edomin

とりあえず、倍数の説明・・・

大中小のさいころの目をＡ，Ｂ，Ｃとします。
そうすると、
１００Ａ＋１０Ｂ＋Ｃ
になります。変形して、
（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）＋９９Ａ＋９Ｂ
このとき、９９Ａ＋９Ｂは３の倍数です。
なので、（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）が３の倍数なら
１００Ａ＋１０Ｂ＋Ｃは３の倍数になります。

お礼

なるほど！分かりやすい説明をありがとうございます。