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sin(sinx)=cos(cosx)のグラフについて

関数グラフソフト「GRAPES]でタイトルの数式をグラフにすると,閉鎖した円状のものが周期的に現れます。こういうものを数学的に理解するにはどのようにしたらよいのでしょうか?この式を見ただけで想像できることなのでしょうか?

質問者が選んだベストアンサー

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  • shkwta
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回答No.4

No.2では近似計算で円に近いものであることを示しましたが、今度はご質問の曲線が周期的に並ぶ閉曲線であることを証明しましょう。 f(x) = cos(cos(x)) これは、周期πの周期関数です。また、cos(1)≦f(x)≦1 であり、f(x)は常に正です。 nを整数として、x = nπ のときf(x)は最小値 cos(1) をとります。 g(y) = sin(sin(x)) これは、周期2πの周期関数です。-sin(1)≦g(y)≦sin(1) です。 mを整数として、y = (2m + 1/2)π のとき最大値 sin(1)をとります。 また、(2m-1)π<y<2mπ のとき、g(y)は負となります。 ここで、h(x, y) = f(x) - g(y) とおきます。ご質問の曲線は、h(x, y) = 0 と表わされます。 h(x, y)はx方向に周期π、y方向に周期πの周期関数です。そこで、-π/2≦x≦π/2, -π≦y≦π で表される、x方向に幅π、y方向に高さ2πの長方形Rの範囲を考えます。周期関数ですから、長方形の外は、周期的に長方形の内部と同じになります。 長方形Rの下半分、つまり-π≦y≦0 の範囲をR1とします。R1では、g(y)≦0です。また、f(x)は常に正ですから、h(x, y)>0 となります。したがって、R1の中に h(x, y) = 0 はありません。 長方形Rの上半分、つまり0≦y≦πの範囲をR2とします。R2は正方形です。R2の辺上では、h(x, y)>0 となっています。R2の内部でh(x, y)が最小となるのは、x = 0, y = π/2 のときで、h(x, y) = cos(1) - sin(1) となります。これは負の数です。 つまり、正方形R2の辺上ではh(x, y)>0 であるが、R2の内部には h(x, y)<0 となる点があるので、R2内でh(x, y) = 0 は閉曲線になります。

kaitaradou
質問者

お礼

私には猫に小判のご解説ですが,折に触れ勉学の糧とさせていただきます。どうもありがとうございました。

その他の回答 (3)

回答No.3

sin(siny)=cos(cosx)を変形すると、 y=arcsin(arcsin(cos(cosx)))となります。 arcsinは-1から1の間でのみ定義されています。 cos(cosx)の絶対値は1以下なので、arcsin(cos(cosx))までは関数値が必ず定義されますが、その値の絶対値が1を越えるとarcsin(arcsin(cos(cosx)))の値は定義されなくなります。 そのため、piを周期として周期的に定義されない部分が定期的に出てきます。 なお、「閉鎖した円状」とありますが、実際には「下側円弧状」です。

kaitaradou
質問者

お礼

ご教示どうもありがとうございました。閉鎖した円状と書いたのはソフトが示してくれた形を述べたものですが、○がx軸に並行に周期的に並んでいます。

  • shkwta
  • ベストアンサー率52% (966/1825)
回答No.2

これは、どうやらTaylor展開と関係ありそうです。 sin B = cos A のとき、 A±B = (2n + 1/2)π; nは整数 B = sin y, A = cos x のときは、-2≦A±B≦2 なので n = 0 に限られます。 cos x を x = 0 のまわりでTaylor展開して2次の項までとると、 cos x ≒ 1 - (1/2)x^2 sin y を y = π/2, y = -π/2 のまわりでそれぞれTaylor展開して2次の項までとると、 sin y ≒ 1 - (1/2)(y - π/2)^2 sin y ≒ -1 + (1/2)(y + π/2)^2 すると、A + B = π/2, A - B = π/2 は、それぞれ x^2 + (y - π/2)^2 ≒ 4 - π x^2 + (y + π/2)^2 ≒ 4 - π となるので、近似的に円の方程式となります。

kaitaradou
質問者

お礼

私の想像の範囲を超えているところにある関係をご教示いただくのは大変ありがたいことです。円のような形になるのはソフトのせいではなくて、数学的根拠があるわけですね、ありがとうございました。

  • shkwta
  • ベストアンサー率52% (966/1825)
回答No.1

グラフにするにはyか何かの変数が必要だと思います。 このままだと、xのみに関する方程式ですし、この方程式には解が無いようです。 何か、別な意味であれば補足してください。

kaitaradou
質問者

補足

(すみません)^(∞)!!左辺のxはyでした。よろしくお願いいたします。

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