球の中で正方形はいくつとれるの

質問

直径10cmの球体で縦、横、高さ、それぞれ1cmの立方体はいくつとれるのかを求める公式はありますか？
また立方体が取れない体積はいくつになりますか？出来ればそれぞれ1cmにならない立方体の個数も知りたいのですが？

回答No.2

Milk2005 · ベストアンサー

対称性がいい形のほうが沢山とれるでしょう。（私には感覚的な説明すらできませんが）
原点付近の立方体は、立方体の頂点または中心のどちらかが原点である場合のみ考えればよい（と思います。証明できなくてすみません）

)頂点が原点と一致する場合
x^2+y^2+z^2≦25 に含まれる格子点の数を数える。対称性より、0＜x≦y≦zを考える。
(x,y,z)=(1,1,1),(2,2,2),(1,1,2)(1,1,3)(1,1,4)(1,2,2)(1,3,3),(2,2,3),(2,2,4),(2,3,3),(1,2,3),(1,2,4) より、1×2＋3C1×8＋3!×2=38個の格子点がx,y,z≧0の領域に存在する。よって、この領域に38個の立方体が、つまり球内に38×8＝304個の立方体が取れる。

)頂点が中心と一致する場合
x^2+y^2+z^2≦25内に含まれる、格子点からx,y,z各方向に1/2だけずれた点の数を数える。まず、(1/2)<x≦y≦zで考える。
(x,y,z)=(3/2,3/2,3/2),(5/2,5/2,5/2),(3/2,3/2,5/2),(3/2,3/2,7/2),(3/2,3/2,9/2),(3/2,5/2,5/2),(5/2,5/2,7/2),(3/2,5/2,7/2)より、｛1×2＋3C1×5＋3!×1＝23個の立方体が(1/2)<x≦y≦zにとれる。
次に、x=y=1/2のとき、最大のz(∈整数＋1/2)は9/2なので、-1/2≦x≦1/2,-1/2≦y≦1/2,z≧1/2の領域に立方体は4個とれる。
あと、原点を含む立方体が1個とれる。
以上足して、23×8＋4×6＋1×1＝229個の立方体がとれる。
よって、の場合のほうが立方体は多くとれて、そのとき304個。
また、球の体積は(4π・5^3)/3=500π/3より、立方体が取れない体積は500π/3-304となります。

z=1とするとx^2+y^2+z^2=25つまりx^2+y^2=24とx,y≧0で交わる正方形は9個（数えました）z=2とすると、正方形は9個。全てz=1と同じ位置。z=3とすると、7個。そのうち5個はz=2と異なる位置。z=4とすると、5個。そのうち4個はz=3と異なる位置。z=0とすると、7個。全てz=1と同じ位置。以上あわせて、46個
よって、1cmにならない立方体は、46×8＝368個。

答えは順に、304個、500π/3-304、368個となります。

最後のほうが何をしているのか激しく分かりづらいと思いますが、ごめんなさい。うまく説明できませんでした。あと、前半の議論が甘くてすみません。

回答No.3

Milk2005

大変申し訳ありません。全然違いました。
格子点を頂点とする立方体を球の内部に取った状態から、x軸上に頂点を持つ立方体全てをx方向に1/2動かすと、新たに4つの立方体が置けます。その周りの立方体についても動かすと、更に8つの立方体が置けます。この状態が最高だとも言い切れませんし、私の解法は見当違いでした。

立方体の間に隙間を作って、そこに斜めにした立方体を入れる、などの方法も考えると全てを考えるのはとても大変ですし、まして公式なんて存在しないと思います。

お礼

色々とり方で違うようですが、参考にしてみます。変な質問にお付き合いいただきありがとうございました

回答No.1

gamasan

最近似た疑問に回答したことがありましたね
Ｎｏ1244751です　これの立体版ですね

えっと　直径10ｃｍの球ですから
中の箱はどの方向にも10個は並ばないですよね
問題はどう設置すれば最大個数収まるか
球のセンターに箱のセンターを設置したとき
球のセンターから0.5センチずれた断面図の円に
正方形がいくつ入るか　以後１センチごとの断面図
を考えていけば　よろしいかと。

センターをどう置くかで取れる個数は変わりますから
公式というものは　存在していないと思いますよ