1/m+1/n=1/p

質問

ヒントを読んでも手がつけられません。
解答・解法とともに、着眼点（ヒントをどのように利用するか）も教えていただけると嬉しいです。
また、このような問題は「整数問題」と呼ぶのでしょうか？
類題を探して対策したいのでどのような分野からの出題なのかも教えていただけたらと思います。

(1)pを素数とするとき、1/m+1/n=1/pを満たす自然数m,nをすべて求めよ。
(2)1/m+1/n<1/5を満たす自然数m,nに対して、1/m+1/nの最大値を求めよ。

ヒント：
pを素数、l,m,nを自然数とするとき、mn=lpならmまたはnはpの倍数である。
mn=p^2なら(m,n)=(1,p^2)または(p,p)である。

よろしくお願いします。

回答No.2

FuKa1

昔好きだった分野の問題です。が、今やってもうまく解けないですね。(2)はお手上げですが(1)について、、（間違いかも)。

命題より
p(m+n) = mn ,,,(1)
ヒントよりmかnはpの倍数。
ここでm=gpとしても一般性は失わない。

また命題の両辺にpをかけると、
p/m + p/n = 1
=> 1/g + p/n = 1
=> p/n = g-1/g

ここでg-1/gはこれ以上約分できず、またpが自然数のため、

p = g-1
n = g

となる。

これらを書き直すと、
m = p(p+1)
n = p+1
を満たすmとnが命題を満たす。

自分は受験時には(2)のようなタイプの問題にはm=5,6,,,と代入していき、左辺を最大とするようなnの値を計算していました。結構時間がかかりましたが、それでも悩むより早かったような。