三乗根

質問

(7+5√2)^(1/3)を簡単にせよという問題です。

解答は1+√2で、確認すればあっているということは
わかるのですが・・・。

どのように解いていったらよいのかわかりません。
よろしくお願いします。

回答No.4

rinri503 · ベストアンサー

面白い問題ですね
次のように書けばいいと思います
　今　(7+5√2)^(1/3）＝ｍ＋ｎ　とする（ｍ，ｎ整数）
　　両辺を３乗すると
　　　7+5√2＝ｍ＾３＋３ｍ＾２ｎ＋３ｍｎ＾２＋ｎ＾３
　　　左辺に無理数√２があるから、右辺の２，３項目の　　　ｎまたはｍに√２がなければならない
　　よって
　　　(7+5√2)^(1/3）＝ｍ＋ｔ√２とおく（ｔ整数）
　７＋５√２＝ｍ＾３＋３ｍ＾２ｔ√２＋３ｍｔ＾２かける２＋２√２ｔ＾３

　　右辺整頓して＝（ｍ＾３＋６ｍｔ＾２）＋
　　　　　　　　　（３ｍ＾２ｔ＋２ｔ＾３）√２
　　　両辺係数比較して
　　　ｍ＾３＋６ｍｔ＾２＝７　・・・（１）
　　　３ｍ＾２ｔ＋２ｔ＾３＝５　・・（２）
　　（１）よりｍ（ｍ＾２＋６ｔ＾２）＝７
　　　ｍ，ｔ整数だから　ｍ＾２＋６ｔ＾２も整数
　　　　ところで７になる整数は１と７のみ
　　　よって　ｍ＝１　ｍ＾２＋６ｔ＾２＝７
　　　　　　　よって　ｔ＝１
　　これは（２）も満足させる
　　　よって　１＋√２である
　　実際は　これくらい書くことになります

お礼

ありがとうございます。
整数の性質を使うのですね。
勉強になりました。

回答No.3

pyamaneko

割り込み失礼します。
予想する理由は#2さんの言うようで十分です、そのように考えると解くことができるということだけで、一度知れば応用がききます。3乗根を求めよという問題では珍しくありません。
下の連立方程式ですが上式は
→　a(a^2 + 6b^2) = 7
とも書け、(　)内は正の数で、7は素数、即ち、7=1×7=7×1で、
aは有理数だから、a=1であることがわかります。
a=1であればb=1は容易にわかると思います。

お礼

ありがとうございます。
aおよびbは自然数なのですね。

回答No.2

tkm

（7+5√2）というのは実数ですよね
実数の３乗根なので解も当然実数になるのは理解できると思います
それで解ｘを

x=a+b√2+c√3+d√5+…

と置いてみましょう。すると

(7+5√2)^(1/3)＝x　より
(7+5√2)=x^3

となります
ここでxの3乗を計算するのですが
√2以外の無理数の項があると
√2*√3=√6
√2*√5=√10
√3*√5=√15…
といった余計な項がでてきてしまいます

x^3=7+√2ですから
xに含まれる無理数は√2だけしかないということです
ここまでが#1さんが解の形を a+b√2 とした経緯です

あとは#1さんのように展開すれば

a^3 + 6ab^2 = 7
3a^2 b + 2b^3 = 5

が得られます
解はというと係数見ていたら答えが思い浮かぶのがベターなのですが（自明ではないがぱっと見想像がつく）
a=b=1だと

1+6＝7
3+2＝5

になりますよね

お礼

ありがとうございます。
x=のところがミソですね。勉強になりました。

回答No.1

shkwta

まず元の形がa+b√2と予想します。(a,bは有理数)
3乗すると
(a^3 + 6ab^2) + (3a^2 b + 2b^3)√2
ここで
a^3 + 6ab^2 = 7
3a^2 b + 2b^3 = 5
これが成り立つようにa,bを決めればよいのですが、
a=b=1はすぐわかります。

お礼

早速のご回答ありがとうございます。
質問ですが、a+b√2と予想する理由は何でしょうか。
また、出てくる連立方程式の解き方が
よくわかりません。よろしくお願いします。