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置換積分について
newtypeの回答
∫f(x)dx 積分範囲はaからbまでとする。 まず区間a≦x≦bをn個の小区間に分割し、各小区間の代表値を定める。 a=x0,b=xnとして、xk-1とxkの間Δxkの代表値を ξkとして次の和を計算する。 f(ξ1)Δx1+…+f(ξK)ΔxK+…+f(ξn)Δxn n Σf(ξK)ΔxK……(1)である K=1 各小区間の幅を0に近づけていったとき(n→∞)の(1)の極限値が 定積分∫f(x)dxである。 ここでx=g(t)によるa≦x≦bとg^-1(a)≦t≦g^-1(b)(逆関数です) との間の1対1対応を用いて、区間a≦x≦bの分割及び、代表値に対応する、区間g^-1(a)≦t≦g^-1(b)の分割及び代表値を定める。 ξK=g(tk)とすると、x-tグラフより、 Δxk≒g'(tk)Δtk であることから、(1)は次のように書き換えられる。 n`````````n Σf(ξk)Δxk=Σf(g(tk))g'(tk)Δtk……(2) K=1```````k=1 a≦x≦bの分割における各小区間Δxkを0に近づいていけば、 g^-1(a)≦t≦g^-1(b)の分割における各小区間の幅Δtkも0にちかづいていく。このとき(2)は ∫f(g(t))g'(t)dt に近づいていく 。{ 積分範囲はg^-1(a)≦t≦g^-1(b)}。結局、 n ```````` n Σf(ξk)Δxk≒Σf(g(tk))g'(tk)Δtk K=1```````k=1 ↓ `` ```` ↓ ∫f(x)dx= ∫f(g(t))g'(t)dt (積分範囲aからbまで) {積分範囲はg^-1(a)≦t≦g^-1(b)} となる。 多少````が気になるかと思いますが、これは位置を調整しているだけなので無視してよいです。
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