中学受験の算数の問題なのですが・・・・。

質問

知り合いに質問された中学受験の算数の問題で、腑に落ちない問題があります。何か良いアドバイスをいただけたら幸いです。

《問題》
碁石を正方形の形に敷き詰めて、なるべく大きな正方形を作ったところ、17個の碁石が余りました。次に、一辺に今作った正方形の一辺の2倍の数[…※]の碁石を敷き詰めて、なるべく大きな長方形を作ったところ、4個の碁石が余りました。碁石は何個ありますか。

《僕の解答》
最初の正方形の一辺に置かれた碁石の数を●個とします。すると、正方形の方の条件を使って、碁石全部の数は、●×●＋17個と表せます。また、長方形の方の条件を使って、2×●×■＋4個（■は、※ではない方の、一辺の碁石の数です）と表せます。そして、●と■に入る自然数の組み合わせを、１から順に調べていきます。すると、●には１と１３が当てはまりますが、●＝1だと、最初の正方形が作れないので不適となり、●＝13となります。

答えは、これであっているのですが、行き当たりばったりな解答っぽくて、どうも納得がいきません。何か良い別解はありますでしょうか？

回答No.1

shidho · ベストアンサー

作った正方形をだいたい半分に分けます。
それを横に並べると
一辺が最初の正方形の2倍となる長方形になるか(偶数の場合)、
一辺が奇数の場合は1列だけ半分残った長方形(奇数の場合)になります。

この段階で17個余っているのを並べて4個余った、ということは、13個並べたことになります。
13個というのは奇数ですから、一辺が奇数だったことになり、
元の正方形の一辺は13個でいいことになります。

(一辺が偶数でしたら、ここで並べた碁石も偶数になります)

というような回答でいかがでしょうか?

お礼

回答していただきありがとうございます。
言われてみれば、そうでしたという感じですね＾＾
ぜひ、これで説明してみたいと思います。

回答No.4

shinobinomono

なるべく大きな正方形を作る、とあるので、1辺の碁石の数は９より大きくなります（平方数の差を考える）。その正方形を半分に切って横に並べると考えると、最初の1辺が偶数の場合と奇数の場合に分けて考えなければなりません。
偶数ならば、うまく２つに分けられるのですが、長方形の長い辺が１８以上になるので、余った碁石の数から考えて不可能です。
奇数ならば横に並べたときに真中で段差ができます。その段差を埋める個数が13個ですから、答えは13となります。

お礼

回答していただきありがとうございました。平方数の差から正方形の一辺が９より大きくなるとは気づきませんでした。良いアドバイスをありがとうございました

回答No.3

postro

こんな方法はいかがでしょう。
最初の正方形の一辺に置かれた碁石の数を●個とします。
正方形の方の条件を使って、碁石全部の数は、●×●＋17個と表せます。
また、長方形の方の条件を使って、2×●×■＋4個（■は、※ではない方の、一辺の碁石の数です）と表せます。
---ここまではzero_oneさんと同じです---
ゆえに　●×●＋17＝2×●×■＋4
これを　■　について解くと、
■＝(●＋13/●)/2　となる
■ は正の整数だから　(●＋13/●)　は正の整数（しかも偶数）でなくてはならない。
ということは、13/●　が正の整数でなくてはならない。
ということは、●　は、１又は１３しかありえない。
このあと、１は不適で、１３は適することがわかる。

お礼

回答していただきありがとうございます。
僕の回答を生かしたアドバイスをありがとうございました。
小学生なので13/●というのを理解してくれるか少し心配ですが、方程式を習っていれば、こっちの方が単純で良いですよね！

回答No.2

mama_mama

１７－４＝１３、この１３個は長方形に使われます。
正方形に１３個加えて長方形になれるのは１３しかありません。

問題を、
碁石を正方形の形に敷き詰めて、なるべく大きな正方形を作ったところ、13個の碁石が余りました。次に、一辺に今作った正方形の一辺の2倍の数[…※]の碁石を敷き詰めて、なるべく大きな長方形を作ったところ、ちょうどでした。碁石は何個ありますか
と読み替えるとわかりやすいと思います。

お礼

回答していただき、ありがとうございます。
確かに、正方形に１３個加えて長方形にすることと、正方形の一辺の個数が奇数であるということに注目するのが重要ですね。