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中学入試問題 算数

中学受験の算数ですが、解けない問題があり、 どなたかご存知の方がおれれましたら ご教授ください。 問 図のように、1辺の長さが4cmの正方形Aの各辺を3等分し、  その中央の線を1辺とする小さな正方形を、正方形Aの  外側に加えてできた図形をBとします。ただし、  もともとあった中央の線は消すことにします。   さらに、図形Bで新たに加わった小さな正方形の各辺を3等分し、  中央の線を1辺とする正方形を図形Bの外側に加えてできた図形をCとし、  このあとも、同じ操作を繰り返し、次々に図形を作ります。 (1) 図形Bのまわりの長さを求めなさい。 (2) 上の操作を何回が行ったときにできた図形のまわりの長さが2000cm    となりました。操作を何回行いましたか。 何卒、宜しくお願い致します。

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図を書くのが面倒なので、書きませんが、 数字の流れを矢印で考えてみてください。 正方形の1辺だけに着目します。 また、しばらく1辺の長さ4cmも無視して1として考えます。 1箇所に着目すると、1回の操作によって、長さは、5/3 倍 になります。 1/3 に分けた小さい部分3つのうち、1つが3つになり、他の2つがそのままなので。 これは見ればお分かりになるかと思います。 この 5/3 倍 にする部分の数 と 対象にならない部分の数を考えます。 つまり、小さな正方形がくっつく場所の数と、つかない場所の数です。 最初は、ただの線ですから、 対象になる部分の数は1つ、 対象にならない部分の数はありません。 (まだ辺一つで考えています) よって、元の長さ1は、操作1回行うと、 1x(1x(5/3)+0x1)= 5/3 になります。 この式は、わかりにくいかもしれませんが、 1つの部分の長さ x (対象となる部分の個数 が 5/3 され、対象とならない部分の個数はそのまま(x1)) という式です。 わかりますかね、、、 次の操作を考えます。 まず、対象となる場所の個数は、3か所です。 これは、前に追加された正方形の数1つに対して3か所あるからです。 1x3の3か所です。 また、対象となる場所の個数なんですが、2か所です。 前に追加された正方形の数1つに対して2か所発生します。 1x2の2か所です。 ただし、1箇所の長さは、初めの1/3になっています。 よって、元の長さ1は、操作2回目行うと、 (1/3)x(3x(5/3)+2x1)= 7/3 になります。 1つの部分の長さ x (対象となる部分の個数 が 5/3 され、対象とならない部分の個数はそのまま(x1)) という式です。 次の操作(3回目)を考えます。 まず、対象となる場所の個数は、9か所です。 これは、前に追加された正方形の数3つに対してそれぞれ3か所あるからです。 3x3の9か所です。(x3されていくことが予想されます) また、対象となる場所の個数なんですが、2つに分けて考えます。 前に追加された正方形の数1つに対して2か所発生したものが、 3x2の6か所です。 また、前回対象にならなかった2か所がそのまま残ります。 前回対象にならなかったこの2か所は、 今回の計算では3倍して6として計算します。 1箇所の長さは、前回の1/3(つまり1/9)になるからです。 合計で12か所が対象外の個数(1/9の長さ換算の個数)となります。 よって、元の長さ1は、操作3回目行うと、 (1/9)x(9x(5/3)+12x1)= 9/3 になります。 1つの部分の長さ x (対象となる部分の個数 が 5/3 され、対象とならない部分の個数はそのまま(x1)) という式です。 さて、ここまで来ると規則性が見えてきます。 1→5/3→7/3→9/3 となっているからです。 もう1回やってみます。 次の操作(4回目)を考えます。 まず、対象となる場所の個数は、27か所です。 これは、前に追加された正方形の数9つに対してそれぞれ3か所あるからです。 9x3の27か所です。 また、対象となる場所の個数なんですが、2つに分けて考えます。 前に追加された正方形の数1つに対して2か所発生したものが、 9x2の18か所です。 また、前回対象にならなかった12か所がそのまま残ります。 前回対象にならなかったこの12か所は、 今回の計算では3倍して36として計算します。 1箇所の長さは、前回の1/3(つまり1/27)になるからです。 合計で54か所が対象外の個数(1/9の長さ換算の個数)となります。 よって、元の長さ1は、操作4回目行うと、 (1/27)x(27x(5/3)+54x1)= 11/3 になります。 1つの部分の長さ x (対象となる部分の個数 が 5/3 され、対象とならない部分の個数はそのまま(x1)) という式です。 ちゃんとなりました。 (1)図形Bの長さは4辺x4cmx(5/3)=80/3 cm です。 (2)4辺x4cmx(◯/3)=2000 cm となる、◯を求めると、375となります。 1回目で5、2回目で7、3回目で9、・・・ と+2されていき、375になるのが 何回目かを数えると、(375-5)/2 + 1 回目、つまり、186 回目になります。 中学入試なので、規則性をカンで見つけて当てはめればよいはずですが、時間もないですし、難しい問題かと思います。

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質問者からのお礼

事細かく有難うございました。 読み解きながら考えてみます。

その他の回答 (1)

  • 回答No.1

(2) 上の操作を何回が行ったときにできた図形のまわりの長さが2000cm    となりました。操作を何回行いましたか。 2000cmになることは決してありません。問題を正しく記載してください。

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