円のトゲの数は１？

質問

いわゆる星型のトゲの数を５としますと、このトゲの角度はπ/５となります。トゲの数を増やしていって頂角が０になるまでのイメージは出来るのですが、逆にトゲの数を減らしていったとすると円の頂角はπですから円のトゲは１ということになるでしょうか？またこのことに何か数学的な意味付けは可能でしょうか？

回答No.2

adinat · ベストアンサー

僕も定義可能だとすれば棘の数無限大だと思いますけどね。質問者に反駁されそうなので釘をさしておきますが、こういう質問をするときは定義をきちんと与えるべきです。

半径1の単位円周上にn個の棘を持ち、頂角がπ/nの図形を棘nの星型と呼ぶんだとすれば、棘5の星型は通常の星型でしょうが、棘3の星型は正三角形そのもの、棘2の星型は正方形、棘1の星型は定義不能です。逆に棘の数を増やしていけばそれこそウニみたいになってしまいますので、円は出てきそうにありません。この場合∞多角形に相当するような星型は半径の2/3ぐらい中にめり込んだような図形になりそうな気がしますので、無限というわけにもいきません。

とりあえず円を無理やりにでも多角形と思おうとするならば、それは無限多角形と思う他なく、それに対応する星型を対称の形で定義するならば棘の数は無限としか言いようがないです。もし棘の数を1と思うならそれはとても対称な図形にはなりえないと思います。つまり円ではない。

お礼

どうもご批判ありがとうございます。補足のほうに少し書かせてください。

補足

πをトゲの数で割ったものが一つの角の角度になっているので、この角度がπである円のトゲの数は１であろうと思ったわけです。

回答No.3

proto

回答になってませんが

そもそも円の頂角ってなんでしょうか？

それと例えば星形は
円に内接させずとも描くことが出来ますよね
確かに正n角形の頂点を使って描いた星形を考えれば
円に内接しますが
もちろんすべて内接させずに描くことも出来ます
もし楕円に内接する星形を考えていたら
楕円のトゲは1でしょうか？

自分には円と星形にはそれほどの関連は無いように思えます
トゲの数が５の星形の、トゲの角度の合計がπであることは
中学校で証明しますが、その証明にも円を使うことはありませんでした

それと正8角形の頂点を3つおきに繋いでいった星形は
棘の角度は45°なので2π/8になるようですよ

補足

書き方が適切でなかった事をお詫びします。第一の円の頂角については正ｎ角形の頂角がπー２π／ｎであらわされますが、ｎを無限に大きくしていくとπに近づきますが、このときこの図形は円に似てくるということです。第２の点は、トゲの数が偶数の時はｎの代わりｎ／２を代入しないとダメなようです。一応奇数に限ると書くべきでした。漢字の角という字はカドともツノとも読みますが星型のトゲを角と読むのも面白いと思うのですが、普通の多角形のカドは星型のツノとは体系が違うようです。た負えばいわゆる星型のツノの数は当然５ですがカドの数は２．５というように整数でなくなりますし、正５角形のカドの数は５ですが、ツノの数は１．６６６６・・・となっているようです。円のカドは∞ですがツノの数は１となるのではないかと思っています。普通の感覚ではカドとツノがおなじ系列に属しているように思っていますがどうもこれは違うのではないかというのが私の予想です。

回答No.1

osumitan

トゲが無限個なのが円だという気がします。

お礼

ご回答どうもありがとうございます。トゲの数を減らしていくと、トゲの角度が大きくなってきます。一番角度が大きいのが円だろうと思っています。