クロネッカーのδと三階反対称テンソルε

質問

シグマの省略はなしとします。
[i,j=1→3]Σε[ijk]ε[ijl]＝2δ[kl]
が示せません。

ε[ijk]ε[ijl]＝δ[kl]-δ[jk]δ[jl]-δ[ij](δ[ij]δ[kl]-δ[ik]δ[jl])+δ[il](δ[ij]δ[jk]-δ[ik])
となって
iについて和を取れば
[i=1→3]Σε[ijk]ε[ijl]＝δ[kl]-δ[jk]δ[jl]
これをjについて和を取って
[j=1→3]Σ(δ[kl]-δ[jk]δ[jl])＝δ[kl]

[i,j=1→3]Σε[ijk]ε[ijl]＝δ[kl]
となってしまいます。

jについてから和をとるとうまくいったのですが何処がおかしいですか？

回答No.4

Rossana · ベストアンサー

＞[i=1→3]Σδ[ik]δ[il]＝δ[kl]＋δ[kl]
＞になるのではないのですか？
＞i＝ｋのときとi＝lのときを考えて。
なるほど．この質問に対してもう少しONEONEさんの意図していることに近い回答をしてみようと思います．

1)k≠lのとき
[i=1→3]Σδ[ik]δ[il]＝δ[kk]δ[kl]＋δ[lk]δ[ll]
＝δ[kl]＋δ[lk]＝0＋0＝0

2)k=lのとき
[i=1→3]Σδ[ik]δ[il]＝[i=1→3]Σδ[ik]^2＝δ[kk]^2＝1

(×1)の場合と同様に[i=1→3]Σδ[ik]δ[il]＝δ[kk]δ[kl]＋δ[lk]δ[ll]＝2とはならないことに注意！kとlの値は同じ値なので項が2個出てくることはありませんね．）

お礼

大変わかりやすかったです。
どうもありがとうございました！

回答No.3

Rossana

☆#1の補足回答
>でも実際にi=1,2,3を入れると
>δ[1k]δ[1l]＋δ[2k]δ[2l]＋δ[3k]δ[3l]
>となって、、、k,lに1,2,3入れても２は絶対でてきま
>せんね。

kのままでは分かりにくいので，では丁寧に場合分けで具体的に考えてみましょう．

１）k=1のとき
[i=1→3]Σδ[ik]δ[il]＝[i=1→3]Σδ[i1]δ[il]
＝δ[11]δ[1l]＋δ[21]δ[2l]＋δ[31]δ[3l]
＝1・δ[1l]＋0・δ[2l]＋0・δ[3l]
＝δ[1l]＝δ[kl]

２）k=2のとき
[i=1→3]Σδ[ik]δ[il]＝[i=1→3]Σδ[i2]δ[il]
＝δ[12]δ[1l]＋δ[22]δ[2l]＋δ[32]δ[3l]
＝0・δ[1l]＋1・δ[2l]＋0・δ[3l]
＝δ[2l]＝δ[kl]

３）k=3のとき
[i=1→3]Σδ[ik]δ[il]＝[i=1→3]Σδ[i3]δ[il]
＝δ[13]δ[1l]＋δ[23]δ[2l]＋δ[33]δ[3l]
＝0・δ[1l]＋0・δ[2l]＋1・δ[3l]
＝δ[3l]＝δ[kl]

では，これらをまとめてkのまま見てみましょう．
kではない添え字を「k以外」と表記します．
[i=1→3]Σδ[ik]δ[il]…kは1～3のいずれかなので，δ[ik]に注目し，
[i=1→3]Σδ[ik]δ[il]
＝δ[kk]δ[kl]＋δ[k以外k]δ[k以外l]＋δ[k以外k]δ[k以外l]
＝1・δ[kl]＋0・δ[k以外l]＋0・δ[k以外l]
＝δ[kl]
です．

＞[i=1→3]Σδ[ik]δ[il]＝δ[kl]＋δ[kl]
＞になるのではないのですか？
＞i＝ｋのときとi＝lのときを考えて。
はどこかを勘違いしているのでしょうね．じっくり解釈してみて下さい．

回答No.2

yaksa

所詮、添え字が1～3までなんで、全部書き出してしまえばいいのですが。

手早く計算したいということなら、
ε[ijk]ε[ilm] = δ[jl]δ[km] - δ[jm]δ[kl]
という関係（たすきがき）だけを覚えておけばいいです。
（アインシュタインの規約を使っています。計算する、という目的なら使ったほうが分かりやすいです。）

これを使うと、
ε[ijk]ε[ijl] = δ[jj]δ[kl] - δ[jl]δ[kj]
　　　　　　　= 3δ[kl] - δ[kl]
　　　　　　　= 2δ[kl]
（ δ[jj]=3，δ[jl]δ[kj]=δ[jl]δ[jk]=δ[kl] ）
ほとんどシグマの計算を意識する必要はないです。

回答No.1

Rossana

>シグマの省略はなしとします。
アインシュタインの規約は使用しないということですね．

iについて和を取れば
[i=1→3]Σε[ijk]ε[ijl]＝3δ[kl]-3δ[jk]δ[jl]-(δ[kl]-δ[jk]δ[jl])+(δ[lj]δ[jk]-δ[lk])

さらにjについて和を取れば
[i,j=1→3]Σε[ijk]ε[ijl]＝9δ[kl]-3δ[kl]-(3δ[kl]-δ[kl])+(δ[lk]-3δ[lk])
＝(9-3-3+1+1-3)δ[lk]=2δ[lk]

って感じでしょうか．

補足

[i=1→3]Σδ[ik]δ[il]＝δ[kl]＋δ[kl]
になるのではないのですか？
i＝ｋのときとi＝lのときを考えて。

でも実際にi=1,2,3を入れると
δ[1k]δ[1l]＋δ[2k]δ[2l]＋δ[3k]δ[3l]
となって、、、k,lに1,2,3入れても２は絶対でてきませんね。

δのΣがよくわかっておりません。
どのように考えておられるのですか？