一様な応力となる形状の棒

質問

自重を無視できない棒に負荷を加えると、応力の最大値は常に棒の上端に生ずるが、棒のどの部分も一様な応力となるような形状の棒にするにはどうすればよいかという問題があります。
この解答が、応力をσ（定数）、比重量をr、棒の下端部断面積をA0、棒の下端からの距離をxとすると断面積Aが
A=A0・exp(rx/σ)
の関数にしたがって変化する棒となります。
この断面積Aの導かれる過程がわかりません。

どなたか教えてください。

回答No.1

kmb01 · ベストアンサー

応力＊断面積＝荷重。
下端からの距離xにおける荷重 = 下端に加えている荷重 + xより下の部分の体積*r

したがって
σ*A(x) = F + r * (A(x)を0からxまで積分)

x=0を代入してF=A0*σ
両辺微分して
σ * dA(x)/dx = r * A(x)

A(x) = A0 * exp(r/σ * x)
ということだと思います。

お礼

大変わかりやすい回答ありがとうございました。

回答No.2

ency

棒の下端から x の位置にある厚さ dx の要素について、力のつりあいを考えてみます。

要素下面にはたらく力: σA (下向き)
要素上面にはたらく力: σ(A+dA) (上向き)
考えている要素の自重: rAdx (下向き)

# 要素下面 (x の位置)での断面積: A
# 要素上面 (x+dx の位置) での断面積: A+dA
# …となるのは、良いですよね？

以上から、力のつりあい式を立ててあげると、下式を導くことができます。

σdA = rAdx

あとは、この微分方程式を解いてあげれば結果の式になります。

お礼

大変わかりやすい回答ありがとうございました。