難しい微分の計算

質問

計算の問題なのですが
答えはわかっているのですがどうしても
その答えにならなくて困ってます。
問題は
log([(a-x)^2+y^2]^1/2 +a-x/[(a+x)^2+y^2]^1/2 -a-x)
です。
答えは伏せたほうがいいかもしれないので
出さないのですが
どうしてもできません。
よろしくお願いします。

回答No.2

eatern27 · ベストアンサー

補足を見た感じでは、logの中身は
分子が[(a-x)^2+y^2]^(1/2)+a-x
分母が[(a+x)^2+y^2]^(1/2)-a-x
という形になっているのですかね。(勘違いしていました)

logの中身の分子をA,分母をBとしたら、
log(A/B)=logA-logB
となるので、これをｘで微分した方が、商の微分が出てこないので楽ですよ。まぁ、結局答えは一緒になるので、どっちでもいいのですが。

どこまで簡単にすればいいのか分からないのですが、考えられる理由を１つだけ書いておきますね。
{((x-a)/√((x-a)^2+y^2))-1}/{√((x-a)^2+y^2)-(x-a)}
という項(※)が出てくると思いますが、
これの分母分子に√((x-a)^2+y^2)をかければ、√((x-a)^2+y^2)-(x-a)が上手く約分できて、
-1/√((x-a)^2+y^2)になります。(もう一つこれと似た項が出てきますが、それも同じ変形ができます。

※
z=((x-a)^2+y^2)^(1/2)-(x-a)としたら、
分子は、{(x-a)/√((x-a)^2+y^2)}-1＝z'
分母が√((x-a)^2+y^2)-(x-a)＝z
です。

ところで、答えは
1/√((x+a)^2+y^2)-1/√((a-x)^2+y^2)
みたいな雰囲気になっていると思って回答しているんですが(多少計算ミスしているかもしれません),もっと簡単になるんでしょうか？

お礼

ありがとうございます。
友達がそのlogの公式でやっていたのですが
やはり分子が1になってしまいますよね。
答えの分子はそれぞれa+x,a-xになっているんですよ。
（分母もそれぞれ違ってます）
１になるとどうすればわからなくなって
私は最初の公式でやってたのですが・・・・・。
色々お手数かけます。

回答No.4

mixchann

＃２さんの回答では、
> 補足を見た感じでは、logの中身は
> 分子が[(a-x)^2+y^2]^(1/2)+a-x
> 分母が[(a+x)^2+y^2]^(1/2)-a-x
> という形になっているのですかね。(勘違いしていました)
としていますが、＃３さんのご指摘通り、
　分子：Ａ＝[(x+a)^2+y^2]^(1/2)-(x-a)
　分母：Ｂ＝[(x+a)^2+y^2]^(1/2)-(x+a)
と変形しておけば分かるように、つまるところ、この問題の本質は、「１つの関数 log([X^2+Y^2]^(1/2)-X) を X で微分する」だけですみます。実際、＃２さんの計算をたどってみると、
d {log([X^2+Y^2]^(1/2)-X)}／dX＝｛X/[X^2+Y^2]^(1/2)-1｝／｛[X^2+Y^2]^(1/2)-X｝＝－1／[X^2+Y^2]^(1/2)……(＊)
となります。
したがって、
　　与式＝logＡ／Ｂ＝logＡ－logＢ
と変形して、両辺を X で微分し、右辺第１・２項において、(＊)の右辺の X にそれぞれ x-a, x+a を(Y に y)を代入したものにおきかえればよいわけです(むろん、合成関数の微分法は周知とします)。よって、
　　－1／[(x-a)^2+y^2]^(1/2)＋1／[(x+a)^2+y^2]^(1/2)
となり、＃２さんの言うとおり(＃３さんも同じ答えとのこと)、
> ところで、答えは
> 1/√((x+a)^2+y^2)-1/√((a-x)^2+y^2)
で正解です。これ以上の変形は無意味でしょう。

お礼

いろいろありがとうございました。
先生に聞いてみたところｘで微分はあってるそうです。
先生の説明不足であと何かをしたらこの解答になるんだといっておりました。

回答No.3

ency

私も同じ eatern27 さんと同じ答えになりました。

私の場合、
　s = x - a
　t = x + a
とおいてみました。

すると、まったく同じ形の式が2つにできました。

片方計算すれば、もう片方は「同様」で済んでしまう分、楽かなぁ、なんて。。。

回答No.1

eatern27

何で微分するんですか？
ｘですか？ｙですか？

いずれにせよ、

(logの中身の微分)/(logの中身)

という形になると思います。

お礼

すみません。忘れてましたxで微分です。
eatern27さんの言うとおりやったのですが
([(a-x)^2+y^2]^1/2 +a-x)'([(a+x)^2+y^2]^1/2 -a-x)-([(a-x)^2+y^2]^1/2 +a-x)([(a+x)^2+y^2]^1/2 -a-x)'/([(a+x)^2+y^2]^1/2 -a-x)^2
という風に微分の公式を使って
[(a+x)^2+y^2]^1/2 -a-x/[(a-x)^2+y^2]^1/2 +a-xを
かけたのですがどうしても答えのように簡単には
でてきません（答えを出してもよろしいでしょうか？）
お願いします。