因数定理の問題

質問

P(x)を(x+2)^3で割ったときの余りを4x^2+3x+5、x-1で割ったときの余りを3とする。
(1)P(x)を(x+2)(x-1)で割ったときの余りを求めよ。
(2)P(x)を(x+2)^2(x-1)で割ったときの余りを求めよ。

という問題です。

(1)はP(x)=(x+2)(x-1)Q(x)+ax+bとして
P(-2)=15、P(1)=3という条件から出ると思うのですが、(2)はどの様に解けばいいのか見当がつきません。

一応ヒントとして「P(x)を(x+2)^2で割った余りは、4x^2+3x+5を(x+2)^2で割ったときの余り-13x-11と等しいからP(x)=(x+2)^2(x-1)×商＋c(x+2)^2-13x-11とあらわせる。」と書いてありましたが意味がよくわかりません。

回答よろしくお願いいたします。

回答No.3

hinebot · ベストアンサー

整式f(x)をg(x)で割ったときの余りをh(x)とすると、
余りh(x)の次数は、g(x)の次数－1 以下になる

ということはいいですね？

>P(x)を(x+2)^3で割ったときの余りを4x^2+3x+5
から、
P(x)=(x+2)^3・Q(x)+4x^2+3x+5
と書けます。
ここで、P(x)を(x+2)^2で割った余りを考えます。
4x^2+3x+5=4(x^2+4x+4)-16x-16+3x+5=4(x+2)^2-13x-11
ですから
P(x)=(x+2)^3・Q(x)+4(x+2)^2-13x-11
=(x+2)^2{(x+2)Q(x)+4}-13x-11 ---(*)
なので、P(x)を(x+2)^2で割った余りは-13x+11　であり、これは、4x^2+3x+5を(x+2)^2で割ったときの余りと等しい訳です。

問題はP(x)を(x+2)^2(x-1)で割ったときの余りなので、求める余りは2次式以下です。
でx-1 を(*)の式で何とか出したいわけです。
そこで、(x+2)^2で割った商である (x+2)Q(x)+4 の部分をx-1 で割ることを考えます。剰余の定理から
(x+2)Q(x)+4 =(x-1)R(x)+c
と書けますね。これを(*)に代入すると
P(x)=(x+2)^2{(x-1)R(x)+c}-13x-11
=(x+2)^2(x-1)R(x)+c(x+2)^2-13x-11
となる訳です。後は、
>x-1で割ったときの余りを3
すなわちp(1)=3 より、c=3 が求まるので、あとは展開して整理すればおしまいです。

お礼

わかりやすく丁寧な質問ありがとうございました。
おかげさまで理解することができました。
(x-1)を出すために (x+2)Q(x)+4 を割るんですね！
本当にありがとうございました

回答No.2

KENZOU

＞P(x)を(x+2)^2で割った余りは、4x^2+3x+5を(x+2)^2で割ったときの余り-13x-11と等しい
　　　　　　↓
　4x^2+3x+5=4(x+2)^2-13x-11　　(1)
はいいですね（剰余の定理を使う）。すると
　P(x)=(x+2)^3・Q(x)+4x^2+3x+5
　　　=(x+2)^2・Q'(x)+4(x+2)^2-13x-11
　　　=(x+2)^2・S(x)-13x-11, S(x)=Q'(x)+4　　(2)
次に頭に(x-1)が欲しいからS(x)を(x-1)で割ってやる。すると剰余の定理により
　S(x)=(x-1)u(x)+C　　(3)
とかけますね。以上を総合すると
　P(x)=(x+2)^2{(x-1)u(x)+C}-13x-11
　　　=(x-1)(x+2)^2u(x)+C(x+2)^2-13x-11 (4)
ここまできたらP(-2)=15、P(1)=3をつかってC=3とでますね。ポイントは無理やりにでも(笑い）P(x)=(x+2)^2(x-1)u(x)+・・・という形を目指すことでした。

お礼

無理やり出せばいいのですね！
なかなか思いつきませんでした。
回答ありがとうございました

回答No.1

noname#8027

P(x)
=(x+2)^3*f(x)+4x^2+3x+5
=(x+2)^2*f(x)+4(x+2)^2-13x-11
=(x+2)^2{f(x)+4(x+2)^2}-13x-11

ここで、
f(x)+4(x+2)^2=(x-1)*g(x)+c
とおくと、
P(x)=(x+2)^2(x-1)*g(x)+c(x+2)^2-13x-11