数学3

質問

解説をお願いします🙇

回答No.3

kiha181-tubasa

回答No.1を読んでも解らない理由は、そもそも「部分積分」が解っていないのがその理由でしょうね。
数学Ⅲでは部分積分法（これは置換積分法とともに必須です。数Ⅲの積分の根幹の一つです）
∫f(x)g(x)dx=(∫f(x)dx)*g(x)-∫(∫f(x)dx)*g'(x)dx
（f(x)は専ら積分され、g(x)は微分される）

No.1の３行目から４行目をだす計算に、この部分積分の計算が使われているのです。

∫(x*e^x - 2A)dx
=∫x*e^x dx- ∫2Adx
この∫x*e^x dxの計算に部分積分法が使われます。
面倒なので不定積分を計算します。
∫x*e^x dx　（xは微分するほど簡単になり、e^x は積分しても不変）
=∫(e^x)*x dx
=(∫(e^x)dx)*x -{(∫(e^x)dx) *(x)'dx}
=(e^x)*x-{∫e^x*1dx}
=(e^x)*x-{∫e^xdx}
=(e^x)*x-e^x+C
=(x-1)e^x+C

また∫2Adx=2Ax+Dですから
∫(x*e^x - 2A)dx
=(x-1)e^x+C-(2Ax+D)
=(x-1)e^x-2Ax+C-D　
=(x-1)e^x-2Ax+B　（任意定数C-DをあらためてBとおいた）

あとは
A=∫[0~1]f(t)dt
=∫[0~1]{(t-1)e^t-2At}dt　（再び部分積分法を使って計算）
ここは自分で計算してください。
Aを未知数とする１次方程式になり、定数Aが定まります。

回答No.2

gamma1854

ここまでかいています。あとは自分でまとめてください。

回答No.1

gamma1854

一目みて、右辺第二項が「定数」であることに気づいてください。
∫[0~1]f(t)dt = A とおくと、
f'(x) = x*e^x - 2A.
となります。これから、f(x) = (x-1)*e^x - 2A*x + C.
なる形です。f(0)=0 ゆえ、C=1. すなわち、
f(x) = (x-1)*e^x + 2A*x + 1.
ここで、A = ∫[0~1]f(t)dt
を計算し、Aを決定してください。

補足

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