光の速度の自乗

質問

c²すなわち「光の速度の自乗」という数値（定数）が必須の要素として含まれる式って、アインシュタインの ｅ= mc² 以外に存在しますか？　物理学に限らずどの学問分野でも構いません。よろしくお願い致します。

回答No.4

Nakay702 · ベストアンサー

再度の補足を拝見しました。

＞私が①と②を連立させると、E＝pc² / v となってしまいます。右辺の分母のvを消去するとE＝c・√(p²＋m²c²) に変形できるのだろうなとは思うのですが、どうやって消去したらいいのか 私の頭でわかりません。
⇒なるほど、そう言われると、正直私もよく分かりません。

ただ、静止時（v＝０のとき）は、
①ローレンツ因子の逆数をかければよい。p＝〔mv/√1－(v/c)²〕×〔√1－(v/c)²〕、
すなわち、p＝mvとなる。
②したがって、静止時はpもゼロになる（それが、E＝mc²である）が、運動中はcに比例して増大する（それが、E＝c・√(p²＋m²c²) と表される）。

以上です、頼りにならない回答ですみません。

お礼

連立方程式は私には難しすぎましたが、それでも、E＝c・√(p²＋m²c²)の方が普遍的であって、おっしゃる通り、その特殊な（相対速度が０）場合がE＝mc²であること、
また、ローレンツ収縮を式で表現したものにもｃ²が出てくるが、それらはいわば派生的な関係にあって 別個に独立しているわけではないこと、
結局、相対性理論の文脈内ではローレンツ因子1/ √1－(v/c)²　が鍵を握るため、必然的にこれらの式はローレンツ因子に含まれるｃ²という特異な定数と縁が切れないこと
が、浅くではありますが理解できました。そこがまさに私の知りたかった答です。

3回に及ぶ親切で的確なご回答、感謝しております。またNakay702さんの的を射た単語選び、説明力、率直さにも感銘を受けました。ありがとうございました。

回答No.3

Nakay702

補足を拝見しました。

＞E＝c・√(p²＋m²c²)は、p＝0の時 右辺がmc²ですから、運動する物体において運動エネルギーと質量エネルギーの総和が単純な足し算ではない、と表しているように思えますが、そう理解してよろしいでしょうか?
⇒はい、そう考えていいと思います。

＞それで、「概念が含み込まれます。」とおっしゃるのが、よくわからないのですが・・・　ドシロウトなもので拙い言い方ですが、「これを相対的に運動する座標を表す行列の変換に応用すると、演繹的に導き出せる」、というほどの意味でしょうか?
⇒なるほど、そう言えるかも知れませんね。言い換えれば、こうも言えますか。
物体の運動量、p＝mv / √1－(v/c)² …… ①
エネルギー量、E＝mc² / √1－(v/c)² …… ②
【ローレンツ因子：1－(v/c)²の全体が、ルート（√）の中に入った形です。】

①②を連立させて、変形すると、前便でお示しした
E＝c・√(p²＋m²c²)
が、導出される、という仕儀です。

補足

たびたびお時間を奪って申し訳ないのですが、私が①と②を連立させると、E＝pc² / v となってしまいます。右辺の分母のvを消去するとE＝c・√(p²＋m²c²) に変形できるのだろうなとは思うのですが、どうやって消去したらいいのか 私の頭でわかりません。手間のかかる質問者に関わってしまったとお思いでしょうが、そこを何とか、ご教示くださいませんか。

回答No.2

notnot

ローレンツ変換（超高速で運動する物体の長さとか時間とか）に出て来ますね。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%83%84%E5%A4%89%E6%8F%9B

お礼

ご回答ありがとうございました。
貼り付けて下さったWikipediaのページは、文化系の私には非常に難しかったですが、参考になりました。動いている系同士で相手側を観測すると、長さや時間が変わるという現象は聞いたことがありましたので、式にするとこうなるのかぁ…と思いました。
もう一方の回答者の方に補足疑問を出すことを繰り返しており、その間、notnotさんにお礼も申し上げず、申し訳ありませんでした。同じような補足疑問をnotnotさんに出してもお答えいただけたのかもしれませんが、 Nakay702さんは、初回からご自分の言葉でご回答されていて、質問し易さから Nakay702さんのお手を煩わせることになりました。notnotさんのご回答も、疑問の解決に役立てさせていただき感謝ですが、今回はNakay702さんのアンサーを小差でベストと致します。あしからずご了解ください。
お世話になりました。

回答No.1

Nakay702

以下のとおりお答えします。

＞c²すなわち「光の速度の自乗」という数値（定数）が必須の要素として含まれる式って、アインシュタインの ｅ= mc² 以外に存在しますか？　物理学に限らずどの学問分野でも構いません。よろしくお願い致します。
⇒はい、「光の速度の二乗」という数値が必須の要素として含まれる方程式があります。

特殊相対性理論で、運動する物体とエネルギーとの関係式です。（ローレンツ変換の概念が含み込まれます。）すなわち、こうなります。

　　　　　 E＝c・√(p²＋m²c²)

＊E：エネルギー、p：物体の運動量、m：ニュートン力学での質量。
なお、(p²＋m²c²) の全体が、ルート（√）の中に入ります。

補足

すみません。E＝c・√(p²＋m²c²)は、p＝0の時 右辺がmc²ですから、運動する物体において運動エネルギーと質量エネルギーの総和が単純な足し算ではない、と表しているように思えますが、そう理解してよろしいでしょうか?
それで、「概念が含み込まれます。」とおっしゃるのが、よくわからないのですが・・・　ドシロウトなもので拙い言い方ですが、「これを相対的に運動する座標を表す行列の変換に応用すると、演繹的に導き出せる」、というほどの意味でしょうか?
重ねてよろしくお願い致します。