どうやって計算すればいいですか？

質問

数学にはからきし弱い人間です。
そんなわたしにもわかるように教えてくださいませんか。

仮に容器に１リットルの水が入っていたとします。
最初、その１／２をくみ出しました。
次に残りの１／３をくみ出し、
その次はそのまた残りの１／４をくみ出します。
このように１／５→１／６→１／７と分母は１つづつ、どんどん大きくなり続けます。

何回続ければ全部の水をくみ出せるのでしょうか？
エクセルで計算しようかと思いましたが、どういう式になるかもわかりませんでした。
教えてください。

回答No.9

hika_chan_

実際にやったら7回くらいでなくなりそうですね。

回答No.8

Amanathu_kan

すみませんNo. 7です。
10×21回ではなくて
10^21回でした……。
一番最後で間違えてしまいました。

べき数無しで書くと、
1000000000000000000000回かそこら、ということになります。

回答No.7

Amanathu_kan

混ぜっ返しな答えになるかも知れませんが水を分子のレベルで見ると
有限回の答えが出てくるのではないでしょうか。

１リットルの水にはだいたい1000/18.01×6.022×10^23個
水分子が入っているので、
1/2くみ出せば残りはその半分の個数、
1/3くみ出せば残りは2/3個の水分子、という風に
１リットルの水をH2Oという『水の粒』がいっぱい入ったものとして
計算すると答えが出るのではないでしょうか？

ちなみに、１リットル中の正確な水分子の個数は
1000 / Mh2o × NA　個になります。
（Mh2oはH2Oの正確な分子量、NAは正確なアボガドロ数）
実際には、この計算に必要な正確な分子量やアボガドロ数が分からないので、
計算しようが無いんですけども (^^;) 。

１リットルの中の水の個数を仮に1000/18.01×6.022×10^23個と置いて、
割り切れない分は汲まないものとしてエクセルで計算すると
10万回くらいまでいちおう水の量は順調に減り続けます。

しかし、m × 10^n回目（n =20-21）くらいで
残りの水の粒がm × 10^n個よりも少なくなってしまい、
取ることが出来なくなってしまうと考えられます。

（３個のリンゴの1/3は取ることができますが、
　３個のリンゴの1/4は取ることができません。ナイフで切るのはナシです）

ですんで、汲むのを諦めたらそれで終了。
そこで水の粒を一個ずつ取っていく方向にしていくと
2 × m × 10^n回目で１リットルの水をカラにすることが
出来ます。

発想の転換ということで、
１リットルの水を化学的に考えて計算してみました (^^; 。
たぶん、10×21回くらいかそこらで水はなくなるハズです。
でもやっぱり現実的にはナンセンスですね (^^;;; 。

回答No.6

yukichi623

エクセルで計算しようと思った場合の手順。
1.A1のセルに0を書き込みます。
2.A2のセルを選択し、上にある"="を押して、A1+1とします。
3.A2のセルを適当に下のほうまでコピペします。

4.B1を選び、1を入力します。
5.B2を選び、2の手順と同じように"="を押して、1/(A2+1)とします。
6.B2のセルを適当に下のほうまでコピペします。

とこんな感じです。
A列の回数だけ汲み出したとき、B列の値になります。

また、コピペするときはセルを選択し、選択したセルの右下に出てくる四角を下のほうへとドラッグしていく（下へ引っ張る）と簡単にできます。

というか、物理的に正確に考える場合、すでに0.5の1/3だけ汲み出すというのが無理だと思ったり。

というわけで、物理的に考えるなら、大体0とみなせるあたりで打ち切っちゃうのが妥当な線だと思いますよ。
個人的には1リットルの容器に、0.1ミリリットル以下の水しか入ってなかったら空とみなすと思います。
それでも1万回の汲み出し作業が必要ですが・・・

回答No.5

UKY

有限回の汲み出しで全ての水を取り出すことができないのは、他の方の回答にあるとおりです。

さて、我々が「ゼノンの逆理」から学んだことは、有限の値を無限回分割することができる、ということでした。ご質問の件も、1リットルという有限量の水を無限回に分けて取り出すことができるというだけで、何も問題ないわけです。

例えば、長さ1メートルの棒を2等分し、さらにその片割れを2等分し、さらにその片割れを2等分し、……ということを繰り返してゆくと、棒の長さはそれぞれ 1/2メートル、1/4メートル、1/8メートル、1/16メートル……となります。もちろんこの分割は無限回行うことができます。そしてこれを数式で表すならば、
1 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ……
という無限に続く足し算になるわけです。
足し算を無限回行うというのがちょっと曲者ですが、この式が正しいことは(棒の分割の例で示したように)直感的にも明らかですし、もちろんちゃんとした数学的証明もされています(高校で習います)。

足し算を無限回行うと結果も無限になる、つまり、結果が有限なら足し算も有限になるという思い込みがあると、「ゼノンの逆理」が一見正しく思えてしまうのです。

回答No.4

BLUEPIXY

本題とは関係ないですが、
ゼノンの話は、（矢が的にあたらないといえるのは）
矢が的に到達する時間未満に限る話です。
本題の場合とは、また違う話だと思います。

同じ話にするなら
無限回続ければくみ出せるでもいいと思いますけど
有限の回数を聞いているんですよね

回答No.3

f10243

実際には矢の説明の場合、的を外れない限りは的に当たるのが最終的な事実なので、結果が出るものに対してゼノンの逆理を当てはめると矛盾が発生します。
つまり、的にはもう当たっているんだけど、説明上当たっていない？　というような。
で、水のくみ出しに戻りますと、ある段階で”最後に残り全部をくみ出す”というプロセスが無い限りは何回繰り返しても必ず残るので、回数をカウントしようとすると終わらないかと思われますが・・・
もちろん、水の分子一個になるまでくみ出し続けてその一個を取るのなら最終的にはくみ出しきれる？　とかも考えましたが、その場合くみ出せる量は水の分子一個よりも少ないのでは？　と考えましたので。

回答No.2

KYOSEN

水の残量は、始め１リットルですが
　一回目　１＊（1/2）　　　　　　　　　＝1/2
　二回目　１＊（1/2）*（2/3）　　　　　＝1/3
　三回目　１＊（1/2）＊（2/3）*（3/4）＝1/4

とくみ上げ回数Ｎに対し、水の残量1/（Ｎ+1）であらわされ
ます。
したがって水の残量が0になるためには、分母（Ｎ+1）が
無限大にならないとだめです。
従い、有限回のくみ上げでは不可能というのが答えでしょう。

回答No.1

namnam6838

うーん、「残りの1/○」ということは、必ず残るわけだから、ぜんぶくみ出せないような気がしますが・・。

お礼

ええ、わたしも最初そう思いました。
でも、それじゃ飛んでいる矢は（常に的との間の距離の１／２地点を通るので）いつまでたっても的に届かないという「ゼノンの逆理」になってしまいませんか？