• ベストアンサー
※ ChatGPTを利用し、要約された質問です(原文:2022大学入学共通テスト数学ⅠA確率)

2022大学入学共通テスト数学ⅠA確率の要約

ATZ1229tktの回答

回答No.4

完全順列は非常に有名で結果も綺麗なので、数学が大好きな生徒 ならp(n)=∑_{k=0~n}((-1)^k・(1/k!))は知っている可能性は あります。これはe^xの展開をx^nの項までで切ったものにx=-1 を代入したもので意識的に覚えるほどのものではありません。 しかしこれを知っている生徒がこれを使ったかというと多分それ はないでしょう。これを使えるのは1回でプレゼント交換が終る 確率だけです。誘導に沿って解いていく方がいいです。 時間が足りなさそうだと思ったときに、ソタとチツテトぐらいに 使うという可能性はありますが5点しかありません。 超高速で解けた可能性はありません。

Tofu-Yo
質問者

お礼

ご見解をお寄せくださってありがとうございます。 確かに「超」というのは言い過ぎかもしれません。失礼しました。 ただ、この結果を知っていて先に確率p(2)~p(5)を逐次的に求めてしまうことができれば、その誘導部分も逆算して求められる部分も多く、また、最後の条件付き確率もp(5)/{(1/5)*p(4)+p(5)}と発想しやすくなると思いました。

関連するQ&A

  • 6-5 高校数学の確率の問題です

    A,B2人がコインを1個ずつ持ち、同時に投げて一方が表で他方が裏なら表の出た方に○、裏の出た方に×、またともに表かともに裏ならどちらにも△を与える、そして繰り返し投げて、間に×をはさまずに○を2個先に取ったほう(△をはさんでもよい)を勝ちとする このとき、n回目(n>=2)で勝負が決まる確率を求めよ 解説 n回中k回が△となる確立は[n]C[k](1/2)^k×(1/2)^(n-k)=[n]C[k]/2^n n回中k回が△であるという条件の下でn回目にまだ勝負がつかないのは、n回目までの△を除くn-k回についての星取表(最初に勝った人のもの)が○●○●... となることで、このようになる確率は(1/2)^(n-k-1)(ただしk=nのときは1) よってn回目にまだ勝負が付かない確率P[n]はP[n]=Σ[k=0→n-1][n]C[k]/2^n×(1/2)^(n-k-1)+[n]C[n]/2^n=2(3/4)^n-1/2^n したがって求める確率はP[n-1]-P[n]=1/2×(3/4)^(n-1)-1/2^n とあったのですが 解説のn回目に勝負がついていないのは○●○●・・・となることで、このようになる確率が (1/2)^(n-k-1)(ただしk=nのときは1)とあるのですが何故(1/2)^(n-k-1)になるのか分かりません 後最初に勝った場合で考えていますが負けた場合は考えなくていいんですか? よってn回目に勝負が付かない確率はP[n]=Σ[k=0→n-1][n]C[k]/2^n×(1/2)^(n-k-1)+[n]C[k]/2^nの式も何でこんな式になるのか分かりません 求める確率がP[n-1]-P[n]で求まるのも良く分かりません

  • 名刺順列の個数

    1~nまでの数を1列に並べるときに、i番目にiという数字が来ない順列を名刺順列とか完全順列とか言います。 このような順列の個数をA(n)とすると、 A(n)=n! * Σ_{k=0}^{n} (-1)^k / k! であるそうです。この導出の仕方を教えて下さい。 ちなみに、A(n)に関する漸化式 A(n)=(n-1)*{A(n-1)+A(n-2)}, A(1)=0, A(2)=1は既に理解していますので、この漸化式の解き方でもいいです。 (この漸化式は1世代前の青チャートで見ました^^;) この式を用いると、全世界の人が名刺を1枚ずつ持ち寄ってシャッフルしたとき、自分のところに自分の名刺が戻ってくる人が1人もいない確率が1/e=36.8%もあることがわかり、なかなか神秘的なのですが。

  • 数学の確率 (さいころ)

    ある確率の問題で 「n個のさいころを同時に投げるとき目の和がn+3になる確率を求めよ」 というものがあるのですが、その答えの式が 6のn乗 分の n H 3(重複組み合わせ   Hのn、3) と書いてありました。 これは分母が、さいころをn個投げる事象の総数の重複順列で、分子はn個から選ぶ 重複組み合わせ となっています。 でも、分母を順列で計算するので分子も順列で考えなくてはならないのではありませんか??どうか分かる方は教えてください。よろしくお願いします。

  • 数学の問題 確率と漸化式

    数学の問題 片面が白色、もう片面が黒色の板が3枚ある。 さいころを振り、「1、2」がでたら左端を、「3、4」がでたら真中を、「5、6」がでたら右端をめくる。 「白白白」から始めて、n回の操作の結果、色の並び方が 「黒白白」「白黒白」「白白黒」、つまり黒が一枚となる確率をP(n)とする。P(2k+1) (kは自然数)を求めよ。 2k+1回は奇数回だから黒は絶対に奇数枚、よって、2k-1回後に黒が一枚の確率はP(2k-1)、黒が一枚でない確率は1-P(2k-1) 計算を省略して・・・ 漸化式を作ると P(2k+1)=1/9P(2k-1) + 2/3 です。 ここから先の解説は まず、P(2k-1)=a(k)とおくと、P(2k+1)=a(k+1) よって、a(k+1)=1/9a(k)+2/3 ここからは普通に特性方程式を作って解きます。 a(k)=3/4+1/4(1/9)^k-1 しかし、a(k)はP(2k-1)だから、kの番号を1上げて、結局 P(2k+1)=3/4+1/4*(1/9)^k なんですが、これをおき変えずにやるとやり方が分からなくなります。 まず、これは隣接二項間と考えていいんですか? 2k+1と2k-1は2離れてるのでこの時点で違和感を感じます。 P(2k+1)=1/9P(2k-1) + 2/3 特性方程式を作り、P(2k+1)-3/4=1/9{P(2k-1)-3/4} 数列{P(2k+1)-3/4}は初項P(1)-3/4=1/4、公比1/9の等比数列 よって、P(2k+1)-3/4=1/4(1/9)^2k-1 変ですよね? (1/9)^2k-1 では答えが違っています。 何がおかしいのでしょうか? 漸化式について詳しく教えてください。

  • 数学 確率

    n,mを自然数(m≦n)とする。1枚の硬貨をn回投げるとき表がm回以上連続して出る確率をP(m)とする。 (1)n=6のとき、P(5)およびP(4)を求めよ。 (2)n≧6のとき、P(n-3)を求めよ。  (3)kを自然数とする。1≦k≦n/2のとき、 P(n-k)を求めよ。 という問題あるのですがよくわかりません。 説明してくださるとありがたいです。 よろしくお願いします。

  • 6-18 至急是非宜しくです、 高校数学の確率です

    xy平面上に点P[0],P[1],P[2],....P[n]を次のように決める まずP[0]は(0,0)とし一般にP[k](k=0,1,2,,,,n-1)が(a,b)であるとき、P[k+1]は(a+1,b)または(a+1,b+1)であり、いずれであるかは等確率(=1/2ずつ)とする 折れ線P[0]P[1]P[2],,,P[n]と2つの直線y=0,x=nが囲む図形の面積の期待値をE[n]としてE[5]を求めよ 解説 E[5]といっても平凡に考えれば2^5通りについて調べなければなりません ところが、次のように一般のE[n]を求める巧妙な解法があります P[1]が(1,0)か(1,1)かで場合を分けてE[n]をE[n-1]で表してみると E[n]=1/2・E[n-1]+1/2・(E[n-1]+n-1/2)=E[n-1]+1/2・(n-1/2) よってE[n]-n^2/4=E[n-1]-(n-1)^2/4(E[1]-1/4=0) したがってE[n]=n^2/4 よってE[5]=25/4 注 たとえば、サイコロで出る目の数の期待値は 1/2・1/3・(1+3+5)+1/2・1/3・(2+4+6)というように奇遇に分けて計算することができますが上で漸化式を立てるときも、これと同じような事をしているわけで決して''和の期待値は期待値の和''などの高級な知識を使っているわけでは有りません なお、上の結論は P[k](a,b)が平均的にはP[k+1](a+1,b+1/2)となることを意味しており納得がいきますね 以下疑問点です 解説のE[5]といっても平凡に考えると2^5通り調べなければならない の所なのですがE[5]を求める場合何故2^5通り調べることになるのですか? E[n]をE[n-1]で表すときにE[n]=1/2・E[n-1]+1/2・(E[n-1]+n-1/2)で求めているのですが 何でこの式になるのか分かりません そしてE[n]=1/2・E[n-1]+1/2・(E[n-1]+n-1/2)この式をE[n]-n^2/4=E[n-1]-(n-1)^2/4 にどうやって変形してのか分からないです (=E[1]-1/4=0)の所なのですがE[1]って何で1/4になるんですか? 後は注のサイコロの出る目の期待値が1/2・1/3・(1+3+5)+1/2・1/3・(2+4+6)になるのが分からないです なお、上の結論はP[k](a,b)が平均的にはP[k+1](a+1,b+1/2)となることを意味しており の所なのですが、何故そのような事が言えるのか分からないです

  • 6-12 高校数学の確率の問題です

    1回の試行で事象Aの起こる確率はpであってAが起これば2点,起こらなければ1点の得点が与えられる、この試行を繰り返し行うとき、得点が途中で丁度n点となる確立をp[n]とする ただし、p[0]=1とする (1)p[n](n>=2)をp[n-1],p[n-2],pで表せ、つぎにp[n]をn,pの式で表せ (2)得点の合計が途中でn点とならないで2n点となる確率を求めよ 解説(1)最後に1点か2点が加わってn点になるがこの場合分けは排反で、しかもn点になるすべての場合を尽くしているから p[n]=p[n-1](1-p)+p[n-2]p (n>=2) ここで方程式x^2=(1-p)x+pの解が1,-pであることに着目して、この漸化式を変形すると p[n]-p[n-1]=-p(p[n-1]-p[n-2]) p[n]+p・p[n-1]=p[n-1]+p・p[n-2] よってp[n]-p[n-1]=(-p)^(n-1)(p[1]-p[0]) p[n]-p・p[n-1]=p[1]+p・p[0] p[0]=1,p[1]=1-pによりp[n]-p[n-1]=(-p)^n p[n]+p・p[n-1]=1 この2式からp[n]を消去するとp[n-1]={1-(-p)^n}/(1+p)よって p[n]={1-(-p)^(n+1)}/(1+p) (n>=1であるが、n=0のときもOK) (2)n点にならないなら、必ずn-1点になるから題意の事象はn-1点になり、つぎにAが起こりn+1点になって、その後の合計がn-1点になるといいかえることができるから、求める確率は p[n-1]・p・p[n-1]=p[{1-(-p)^n}/(1+p)]^2 研究 p=1/2のとき、p[n]≒2/3となりますが、このとき平均的には1点と2点が交互に加点されると考えられ右図では●●○の繰り返しと考えられることから納得のいく結論です 研究の平均的には1点と2点が交互に加点されると考えられ右図では●●○の繰り返しと考えられる とあるのですが、どういう事を意味しているのか分からないです ●と○の意味も教えてください

  • 6-12 助けてください 高校数学の確率の問題です

    1回の試行で事象Aの起こる確率はpであってAが起これば2点,起こらなければ1点の得点が与えられる、この試行を繰り返し行うとき、得点が途中で丁度n点となる確立をp[n]とする ただし、p[0]=1とする (1)p[n](n>=2)をp[n-1],p[n-2],pで表せ、つぎにp[n]をn,pの式で表せ (2)得点の合計が途中でn点とならないで2n点となる確率を求めよ 解説(1)最後に1点か2点が加わってn点になるがこの場合分けは排反で、しかもn点になるすべての場合を尽くしているから p[n]=p[n-1](1-p)+p[n-2]p (n>=2) ここで方程式x^2=(1-p)x+pの解が1,-pであることに着目して、この漸化式を変形すると p[n]-p[n-1]=-p(p[n-1]-p[n-2]) p[n]+p・p[n-1]=p[n-1]+p・p[n-2] よってp[n]-p[n-1]=(-p)^(n-1)(p[1]-p[0]) p[n]-p・p[n-1]=p[1]+p・p[0] p[0]=1,p[1]=1-pによりp[n]-p[n-1]=(-p)^n p[n]+p・p[n-1]=1 この2式からp[n]を消去するとp[n-1]={1-(-p)^n}/(1+p)よって p[n]={1-(-p)^(n+1)}/(1+p) (n>=1であるが、n=0のときもOK) (2)n点にならないなら、必ずn-1点になるから題意の事象はn-1点になり、つぎにAが起こりn+1点になって、その後の合計がn-1点になるといいかえることができるから、求める確率は p[n-1]・p・p[n-1]=p[{1-(-p)^n}/(1+p)]^2 研究 p=1/2のとき、p[n]≒2/3となりますが、このとき平均的には1点と2点が交互に加点されると考えられ右図では●●○の繰り返しと考えられることから納得のいく結論です (2)のp[n-1]・p・p[n-1]の所なのですがn+1点から2n点までをp[n-1]を掛けるのが分からないですp[n-1]・pまでは分かるのですが 研究の平均的には1点と2点が交互に加点されると考えられ右図では●●○の繰り返しと考えられる とあるのですが、どういう事を意味しているのか分からないです 是非これらの疑問点の解決のための解説を宜しくお願いします

  • 数学Aの条件のことについて…詳しく教えて下さい…

    mは奇数またはnは奇数→積mnは奇数 という問題がありました。 わからなかったので答えをみたところ、これは偽で反例が(m=1,n=2)でした。どうしてnは奇数と書いてあるのに反例で偶数がでてくるのでしょうか? ちなみに受験生です。

  • 数学・確率・くじ引き

    ある数学の問題集に載っている、某大学の過去問です。 【問】 赤球2個、白球(n-2)個、合計n個(n≧4)の球が袋に入っている。 そこから球を一個ずつとりだすが、一度に取り出した球は元に戻さないものとする。 (1) 3回目にはじめて赤球がでる確率を求めよ。 (2) К回目(1≦К≦(n-1))に初めて赤球がでる確率を求めよ。 (3) К回目(2≦К≦n)のとりだしが終わったとき、袋の中に赤球が1個も残っていない確率を求めよ。 【解】 (1) 2(n-3)/n(n-1) (2) 2(n-К)/n(n-1) (3) К(К-1)/n(n-1) 【質問】 (1)と(2)は解りました。 けど、(3)は解説を読んでも「なんでだろう?」の一点です。 (3)の解説は・・・ К回目までの順列が(●→赤球、○→白球) ○○●.................○●○ のようになる確率を求めればよい。 上の順列は、まずは2個の●の場所を決めてから並べると考えると  C(к,2)*(2!)*P(n-2,к-2) 通りある・・・・ です。 また隣にあった補足には・・・ 「к個の球の組み合わせを決めてから、К個を並べると考えると C(n-2,к-2)*(к!) 通り」 と書いてありました。 それで私の疑問は何故、以上のような通りになるのか?です。 誰かより詳しい解説よろしくお願いします。