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積分の意味のコトですが。
shroederの回答
これははっきり言って 現在の高校の数学カリキュラムがおかしいのです。 x^2の不定積分は x^3/3 というのは、やさしくて覚え易いということで 安直に教えていますが、これをやってしまうのでいつまでも積分の意味が 分からないのです。教科書では 区分求積法 のところで説明している ことになっていますが、十分に強調されていません。 まず、定積分があってはじめて不定積分があるのです。（不定積分F を求めてF(b)-F(a)とするのは、計算法であって定義ではありません。 もとのf(x)から不定積分F(x)を多項式とか対数、指数関数等で具体的に 書けるのは限られたものしかありません） 定積分の直観的な説明は、簡単のためにf(x)>=0とすると、a<bのとき x=a、x=b、y=0、y=f(x) で囲まれた部分の面積を f(x) の x=a から x=bまでの（定）積分と します。（f(x)の符号が変わるときは正の部分と負の部分に分けて 負の面積は-1倍して負の面積にして足します） そうすると、面積は何か？ ということが問題になります。 f(x)が多項式とか、グラフが円周の一部のような場合は面積という ものを考えるのにあまり抵抗がありませんが、 たとえばf(x)が無限に細かく振動している場合（例えば x*sin(1/x)） とか、不連続な場合（xが有理数のとき１で、無理数のとき０） のような場合y=f(x)の下の部分の面積とは何でしょうということに なります。 そこで数学的には、逆転して、定積分が定まったときその値を面積と定義 します。（実は、小学校でならった円の面積にしても、厳密には積分の 概念を用いなければ説明になっていないのです。ただ一つ、長方形の 面積がたて＊よこ であるというのだけが根拠となる概念で、３角形の ように有限の手続きで長方形に帰着できるものはOKで、多角形は有限個の ３角形に帰着できるのでよいのですが、円の面積は正多角形で近似して 行くのでどうしても極限の概念が必要です） では定積分はどのように定義するかというと、区間[a,b]を分割して a<a_1<a_2<...<a_n=b のように分割点をとり、i=1からnまでの和 Σ f(x_i)(a_i-a_{i-1}) を考えます（a_0=aと理解してください）。ここでx_iは[a_{i-1},a_i] の点を一つずつ選んでおきます。この形のものをf(x)のリーマン和と いいますが、ここで分割を限りなくこまかくしたときの極限が存在すれば それをf(x)の区間[a,b]での積分と定義します。ここでx_iの選び方を どのようにとっても、同一の値に収束するとき始めて積分が定義されます。 f(x)>=0のとき、リーマン和は [a_{i-1},a_i]の幅で高さf(x_i)の長方形の面積を足したものなので ”y=f(x)の下の部分の面積と考えられるべきもの”の近似値と考えられます。 とくにf(x_i)が[a_{i-1},a_i]で最大になるようにとったときの値をＭ、 あるいは最小であるようにとったときの値をｍとすれば ”y=f(x)の下の部分の面積と考えられるべきもの”はｍ以上Ｍ以下である ことになります。分割点を増やしていくとＭは減少し、ｍは増加しますが、 積分の存在はこれらが同じ極限値に収束することを要求しているわけです。 したがって”y=f(x)の下の部分の面積と考えられるべきもの”があると すれば、この極限値以外に考えられないということになるので積分に よって面積を定義することが正当化されます。本当は、これまで知っている 面積は積分を用いて計算しても昔から知っている値になることを一度 確かめておかなければなりません（このあたりのことが”区間求積法” のところに非常にへたくそに書いてあるのですが） f(x)が[a,b]で連続であればaからbまでの積分が存在することが 証明できます。（つまりリーマン和がx_iの選び方によらず 一定の値に収束することが証明できます。このためには有界閉区間に おける連続関数は一様連続であるという定理が必要で、この一様連続性 を定義するためには、いわゆるεーδ論法が必要です。さらに実数の 連続性ということも。） f(x)が単調増加か単調減少な連続関数であれば、もっと楽に積分の存在 を示すことができます（リーマンの証明）。したがって、極大極小が 有限個しかない連続関数であればリーマンの証明で十分です。 つぎにf(x)のaからbまでの積分をbの関数と考えて、F(b) と書くことに します（f(x)は少し広いところで定義されているとしてください） このF(b)の微分を考えると （F(b+h)-F(b))/h のh→0のときの極限ということですが、積分の定義を考えると F(b+h)-F(b)は min*h と max*h の間にあります。ここで min max は [b,b+h]におけるf(x)の最大値と最小値です。これをhで割ってh→0とすると min max はf(b)に収束するので、問題の比もf(b)に収束することがわかり F'(x)＝f(x) であることがわかります（h<0の場合もやらなければいけませんが） つまり、定積分をbの関数と考えればそれがf(x)の不定積分の一つになって いるわけです（これを、すでに知っている関数で表せるか否かは別問題です）。 たまたま何かの方法でG’(x)＝f(x)であるGが得られていれば、FとGは 定数だけの違いなので G(b)-G(a)を求めることで定積分を計算できます。 この部分が高校で微積分として教えられていることの主たる（ゆがんだ） 部分です。 最後に積分はただ計算するだけのものでなく、概念として非常に大切です。 面積もそうですが、曲線の長さも積分を用いないと定義できません。 もっと重要なのは、重心を求めるときのモーメントも、質点だけを 考えているときは四則演算ですみますが、板のような連続体を考えたり、 さらに一様でないものを考えると積分なしでは定義できません。（面積の ように直観的に存在が分からないので、近似値としてのリーマン和を 作ってその極限をとらざるをえません。このとき、上に述べた、x_iを どのように選んでも同じ極限であるということが、その定義が正しいと いうことの一つの保証になるのです） また物理の法則は、もとは積分=0という形のものが多く（ある種の保存則と いうこと）、通常書かれているのは、それから被積分関数＝０を導いて 法則としています（多次元の積分になるのでもっと複雑な手続きになりますが 本質的にはそうです） 最近病院でよく使われるCTスキャンの理論も積分なしではできません。 たとえばある形の障害物をおいて種々の方向からX線をあてて反対側で 観測すれば、減少したX線の量によって、その方向に切ったときの 障害物の長さが分かります。これからもとの形を復元するために ラドン変換という積分を用いることができます（数学者はかなり前から これを知っていたようです）。これをコンピューターと結び付けて 瞬時に計算（近似計算）を行い画像表示できるようにしたものがCTです あるいはCDでデジタルに録音する場合、音の波を色々な波長がどのくらい あるかという量に変換して記録します。これがまず積分です（基本的に フーリエ変換と呼ばれるものでsin mxとかcos mxを掛けて積分した ものです）再生するときは、フーリエ逆変換と呼ばれる、やはり積分 によって音の波を復元するのです。実際にはウエーブレット変換のように 少し修正したものが使われているかも知れませんが根本の考え方は 変わらない筈です。
noname#1457
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