こういう方程式は解けるのでしょうか。

質問

友人に言われました。
①　ｘ＾４+ｘ＾２+１＝０
➁　ｘ＾６+ｘ＾３+１＝０

回答No.4

f272

(1)
左辺に(x^2-1)をかけると
(x^4+x^2+1)(x^2-1)=x^6-1となるので、x^6=1の解からx^2=1の解(x=±1)を除けばよい。
x=±(1±√3i)/2
別の表し方をすればx=cos(nπ/3)+i*sin(nπ/3)でn=1,2,4,5

(2)
左辺に(x^3-1)をかけると
(x^6+x^3+1)(x^3-1)=x^9-1となるので、x^9=1の解からx^3=1の解(x=1およびx=(-1±√3i)/2)を除けばよい。
x=cos(2nπ/9)+i*sin(2nπ/9)でn=1,2,4,5,7,8

お礼

難しいですね。勉強します。

回答No.3

asuncion

①に(x^2 - 1)をかけると
x^6 - 1 = 0に、
②に(x^3 - 1)をかけると
x^9 - 1 = 0になります。

つまり、①の4次方程式は1の6乗根のうち虚数解のすべてを、
②の6次方程式は1の9乗根のうち虚数解の一部を、それぞれ解とします。
このあたりは高校の数学Ⅲの知識が必要で、
ド・モアブルの定理（Theory of de Moivre）
あたりのキーワードでググってみたりすると
考え方がわかるかもしれません。

お礼

数Ⅲですか。勉強します。

回答No.2

m5048172715

解はある。
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%EF%BD%98%EF%BC%BE%EF%BC%94%2B%EF%BD%98%EF%BC%BE%EF%BC%92%2B%EF%BC%91%EF%BC%9D%EF%BC%90&lang=ja

解はある。
https://www.wolframalpha.com/input/?i=%EF%BD%98%EF%BC%BE%EF%BC%96%2B%EF%BD%98%EF%BC%BE%EF%BC%93%2B%EF%BC%91%EF%BC%9D%EF%BC%90&lang=ja

お礼

大変興味を感じますが、難しいです。

回答No.1

asuncion

①はx^2 = tと、②はx^3 = tとおくと、どちらも
t^2 + t + 1 = 0
というtの2次方程式になります。この方程式の左辺の判別式を
Dとおくと、D = 1 - 4 = -3 < 0
となり、実数解を持ちません。tの虚数解はあります。
したがってxの虚数解はあります。
「解ける」というのはどこまでを指していますか？

お礼

友人の目的がはっきりしませんが、勉強させようと思っているようです。