これは解けないのでしょうか

質問

①　ｘ＾４+ｘ＾２+１＝０
➁　ｘ＾６+ｘ＾３+１＝０
は解けることをご教示いただきましたが
③ｘ＾４+ｘ＾３+ｘ＾２+１＝０
④ｘ＾６+ｘ＾５+ｘ＾３+１＝０
のように違う次元の項があると解けなくなるのでしょうか。

回答No.2

staratras · ベストアンサー

いわゆる「解の公式」が存在せず、一般には代数的に解けないのは「5次以上の方程式」です。

③は4次方程式ですので解けます。
しかもこれは容易に因数分解できて、(x^2-x+1)(x^2+x+1)=0　なので
虚数の解を4つもつことがわかります。

④は6次方程式ですが、x=-1 が解の一つであると容易にわかりますので、まず(x+1)で割り、そのあとも因数分解できて、1次式・2次式・3次式の積に分解できますので解けます。
(x+1)(x^5+x^2-x+1)=0
(x+1)(x(x^4-1)+x^2+1)=0
(x+1)(x(x^2+1)(x^2-1)+x^2+1)=0
(x+1)(x^2+1)(x^3-x+1)=0 ここまで因数分解できます。
結局、2つの実数解と4つの虚数の解を持ちます。

お礼

やはり勉強しないとだめですね。因数分解をきちんと勉強します。

回答No.1

watanabe04

２次方程式は「解の公式」がありますよね。
３次以降は現状、「解の公式」がなく、因数分解できなければ
解けないということになります。
また偉い数学者が現れて「解の公式」なるものを発見すれば
解ける日が来るかもしれません。

お礼

因数分解というのは大切なものなのですね。