分散V(R_ρ)の最小値

質問

統計学入門の練習問題で
https://parco1021.hatenablog.com/entry/2020/05/18/210000
の7.2の1)と2)を解いています。

2)の最後の分子が
(1-ρ^2)σ_1^2 * σ_2^2
になる理由を教えて下さい。

上記のサイトと私の添付画像をご覧ください
（ 1)と2)は続いているので、敢えて両方載せました）。

実は
x = (σ_2^2 - ρ * σ_1 * σ_2)/(σ_1^2 * 2ρ * σ_1 * σ_2)
を解き終えたとき、「これが最小値だ！」と思っていたのですが、
答えを見ると場合分けがありました。
しかも、
x = (σ_2^2 - ρ * σ_1 * σ_2)/(σ_1^2 * 2ρ * σ_1 * σ_2)
の時の最小値が
x = {(1 - ρ^2) σ_1^2 * σ_2^2}/(σ_1^2 * 2ρ * σ_1 * σ_2)
になっていて理解できていません。
(1 - ρ^2) σ_1^2 * σ_2^2
を展開しても、
σ_1^2 * σ_2^2 - ρ^2 * σ_1^2 * σ_2^2
になるので、
σ_2^2 - ρ * σ_1 * σ_2
との関連性が分かりません。

どうか教えて下さい。お願いします。

回答No.2

f272 · ベストアンサー

x = (σ_2^2 - ρ * σ_1 * σ_2)/(σ_1^2 * 2ρ * σ_1 * σ_2)
のときの計算はそんなに大変ですか？
わかりやすくするために
a=σ1^2-2ρ*σ1*σ2+σ2^2
b=σ2^2-ρ*σ1*σ2
c=σ2^2
とすれば
V(Rρ)=ax^2-2bx+c=a(x-b/a)^2-(b^2-ac)/a
なのだからx=b/aのときにはV(Rρ)=-(b^2-ac)/aになりますよ。

お礼

更にベストアンサーを差し上げます。

確かに、x=b/aで置き換えるとスッキリしました。
似たようなパーツがあるなぁとは思いつつ、
そのままにして12行にも渡る壮大な計算をしていました。
ありがとうございました！

回答No.1

f272

0≦x≦1と書いてあるでしょ。だから場合分けをする。
それから求めているのはV(R_ρ)の最小値ですよ。x = (σ_2^2 - ρ * σ_1 * σ_2)/(σ_1^2 * 2ρ * σ_1 * σ_2)を代入してください。

お礼

ベストアンサーを差し上げます。

なるほど、xに代入すればよかったんですね。
x=0は簡単でした。
x=1もスルスル～っと相殺されていきました。
x = (σ_2^2 - ρ * σ_1 * σ_2)/(σ_1^2 * 2ρ * σ_1 * σ_2)は大変でしたが、確かに本の答えと一致しました。
場合分けは苦手なので勉強します。
ご回答ありがとうございました！