半径Rの円弧足を有する倒立振子の運動方程式

質問

質点Mで長さLの倒立振子の運動方程式を教えて下さい。ただし、Point footではなく、曲率半径Rの円弧足とします。イメージとしては、起き上がり小法師のようなものです。恐らくラグランジュの未定乗数法を使うのだと思いますが、具体的にどうすれば良いかわかりません。よろしくお願いします。

回答No.2

atm_phantom

回答したときに、この質問は倒立振子をフィードバック制御で立たせる問題のための運動方程式を作るためと早合点していました。というのも 東京工業大学 制御工学科 古田 ( 勝久 ) 研究室という所から「 二次元 二重倒立振子を現代制御理論で立てる」という趣旨の研究論文が提出されており、二重倒立振子システムの Dynamics を線形近似して問題にアプローチしている論文を 40年位前に見ているので、先入観がありました。もし同じ目的で運動方程式を考えられているなら、微小変位に対しては円弧足の水平方向の変位は無視できることとなります。
このような目的でなく非線形性を考慮するとするなら運動方程式はかなり複雑なものとなり、厳密にいえば円弧足が球体の何% まであるかというようなことも関係しそうです。私も直ぐには思いつきません。移動する円弧足の中心を原点にとり、倒立振子の傾き角 θを状態変数とし、水平移動の距離は円弧足の半径をRとすれば、 R sinθ となるので、その移動による補正項を入れるような式でも考えることになるのかもしれません。申し訳ありませんが、専門が電気で力学系は複雑なものは苦手です。

「 2. 円弧足の回転慣性係数をPoint foot の運動方程式に等価的な質量値として補正する。」いう部分は私の線形近似の場合に、円弧足が極めて大きく重い金属でできている場合と、小さな軽い木製の場合で回転慣性定数が異なって、運動方程式に影響を与えることを言ったにすぎません。

高校の物理でも習う有名な 単振子の周期の式 T = 2π√( L / g ) L: 単振子の長さ、g: 重力加速度 という式も sinθ ≒θ の線形近似が成り立つ範囲での式となっています。

お礼の文章の中に補足質問が含まれていたため、気が付くのが遅れました。すみません。

回答No.1

atm_phantom

質問者のようなケースでも曲率半径 R の仮想的な中心を Point foot とすれば、Point foot の運動方程式と変わらないのではありませんか。強いて言えば
1. 円弧足とその置かれた平面の摩擦係数を等価的な摩擦係数値として補正する。
2. 円弧足の回転慣性係数をPoint foot の運動方程式に等価的な質量値として補正する。
3. 倒立振子の長さを円弧足の半径 R だけ短くする。
だけのような気がしますが。

お礼

ご回答ありがとうございます。円弧足の場合、接地点が移動するので(つまり仮想的なpoint footの位置、速度が変わるので)、その分、質点の水平方向成分(位置、速度)が、point footの場合と異なってくると思うので、それを考慮する方法がわかりません。「2. 円弧足の回転慣性係数をPoint foot の運動方程式に等価的な質量値として補正する。」のことをおっしゃっているのでしょうか？その方法がわかりません。ご助言頂ければ幸いです。