幾何分布の分散でSn-(1-p)Snが二回出る理由

質問

まずは下記リンク
http://racco.mikeneko.jp/Kougi/10a/IS/IS05pr.pdf
の5ページ目「幾何分布の期待値と分散の導出」の中の分散部分
「…となります．同様に，(5) 式から …」
をご覧ください。

「E(X^2) - (1-p)E(X^2) = …」という計算が
6ページ目の2行目
と
6ページ目の8行目
の二回出てくる理由を教えて下さい。
一回目と二回目の違いは何ですか？

この幾何分布の分散を
文章に沿ってすべて計算してみました
（添付画像、特に【1】と【2】を参照のこと）。

期待値の時みたいに、
一回だけで計算できると思っていたのでショックです。
それぞれの式は計算できているのですが、
全体を俯瞰すると何を計算しているのか理解できていません。
どうか一回目と二回目の意味を教えて下さい。
どうかお願いします。

※画像を添付していますが、
もしこの画像の字が小さすぎて読めない場合は
一旦この質問を削除して
画像を撮り直してからまた質問します。

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

下記のリンク
https://examist.jp/mathematics/sequence/tousatouhiwa/
のいちばん下の問題（S = Σ k^2 2^k を求めよ）と同じ構造になっています。
（お尋ねの問題は p * Σx^2 (1-p)^x の計算ですので、文字を置き換えて無限和に変えたことになります）
この問題でSからTに変形するところが「1回目の計算」、Tから解答に至るまでが「2回目の計算」に該当します。この問題でSからTに変形するところは「S - 2S の計算」、Tから解答に至るまでは「T - 2T の計算」なので見た目は似ています。

ご質問のあった期待値計算でも、この無限数列の「公比」にあたる 1-p をかけて引く、という作業が2回必要になります。
1回目の計算の結果はまだΣ記号が残っており、数値を求めたことになっていないため、さらに同様の変形を行うことで（Σ記号を残さない）数値として E(X^2) が得られます。

お礼

ベストアンサーを差し上げます。

なるほど、(2次式)×(等比)型だから2回差を取る必要があるんですね。納得です。
いろいろ調べてみると、外国のサイトですが、https://math.stackexchange.com/questions/2941650/summation-of-a-geometric-sequence-from-1-to-infinity-for-n2-times-fr
…の場合も、Σ[n=1,∞]n^2 x^(n-1)の(2次式)×(等比)型になっていて、2階微分が出てきました。これも同じ原理で、2次式だから2階なんですね（3次式ならおそらくきっと3階なんでしょう）。

ご回答ありがとうございました！