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単数 同値 単元
tmppassengerの回答
前も書きましたが、d(a+bρ) = (a+bρ)(a-bρ)ですね x∈Z[ρ] が Z[ρ] の単元だとすると、xy = 1 なる y∈Z[ρ]があるが、この時 d(xy) = d(x)d(y) = d(1) = 1で、d(x), d(y)は非負整数であるから、d(x) = 1以外取り得ない 逆に d(x) = 1とする。yをxの複素共役とすれば y∈Z[ρ]、d(x) = d(y) = 1で、xy = d(x) = 1であるから、xはZ[ρ]の単数である x = a + bρ (a,b∈Z)でd(x) = a^2 + ab + b^2 = 1 なるものを求めると、a^2 + ab + b^2 = (1/2)(a+b)^2 + (1/2) (a^2 + b^2) と変形すれば、|a|≧2もしくは|b|≧2であれば d(x)≧2となることが分かるから、|a| ≦ 1かつ|b|≦1の場合しか有り得ない。後は9つの場合しかないから、それぞれ調べれば Z[ρ]の単数は全て分かる(さらに言えば、xが単数なら-xも単数なので、a≧0の場合だけ調べればよい)
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お礼
参考にさせて頂きます。ありがとうございます。