積分はｙ＝ｘのグラフで考えるという助言

質問

三角形の面積の公式と組みあわせてみれば納得できないかと友人が言うのですが、どういうことでしょうか。

回答No.8

noname#246592

（１）⊿AOMについて ⊿AOMの面積は S=(1/2)*(AM)*(OM)で与えられる。 AM=2、OM=2なのでこれを代入する。 S=(1/２）*x^2 =2

しかし、y=x^2でｘ＝0～ｘ＝2までの面積を求めよ。
と言うとき、（１）のような筆算で計算はできない。
もしできると言うなら、やってみてください。
不可能です。

しかし、それを積分計算をすると、簡単に答えが出てくる。
x=2
S=∫{x^2}dxの積分計算で簡単に求められる。
x=0

二重積分だとその関数が作る体積が計算で求まる。
数学の良さ、凄さである。積分は誰の発明？

お礼

仰る通りだと思います。私も積分のすごさというのはおぼろげながら感じます。ただ一番簡単な三角形の面積の公式が積分のすごさに重ならないかなと思っています。円の面積だと私のような頭では全く重なりません。歴史的には円の面積は積分の発見以前に確立されていたと思いますが。

回答No.7

noname#246592

（１）⊿AOMについて
⊿AOMの面積は
S=(1/2)*(AM)*(OM)で与えられる。
AM=2、OM=2なのでこれを代入する。
S=(1/２）*x^2
=2

(2)直線、y=f(x)=xが創る⊿AOMの面積を
積分で求めると
　x=2
S=∫{ｘ}ｄｘ ＝(1/2)*x^2=2
　x=0
となり、同じ値となる。当然の結果となる。
で、スレ主は何が問題なの？何が質問なの？

お礼

積分が面積と切りはなせない深い関係があるということかどうかでしょうか。

回答No.6

noname#246592

(1)　⊿A、２、０の三角形の面積は

S=（1/2）*2*2
=2である。

(2)一方
y=x /青色の直線の被積分関数は

(1/2)*ｘ＾２ / 紫色の2次曲線である。

x=2
∫{ ｘ}ｄｘ＝２
x=0

となり、面積は同じになる。

しかし、
（１）の面積の定義は長さ＊長さであり
（２）は積分の定義から面積を出している

何故、同じになるのかワカリマセン。

お礼

そうなのです。同じであって当然ですが、面積と積分の関係からくることなのかなと思っています。友人もあるいはその辺のことを考えていたのかなともいます。

回答No.5

asuncion

底辺×高さ÷2
でわかるのは、
∫[0→x]xdx
の値のみです。
一般的な積分のことを言ってるのではないです。

お礼

何も本質的な関係はないということでしょうか。

回答No.4

noname#246592

三角形の面積は一辺を”ｘ”とすると
S=（1/2）ｘ＾２となる。

一方
ｙ＝ｆ（ｘ）＝ｘの場合、０－－＞ｘまで積分すると
S=(1/2）ｘ＾２となり、上式と一致するが

何故、一致するのか、私にはわからない。

お礼

小学校で習う三角形の面積の公式と高校で習う微積分が関係あるということでしょうか。一致するのは当然でしょうが、その理由がわかれば微積分もわかるということ尚かなと思います。

回答No.3

sat000

ちょっと単純化し過ぎた話なのでかえって分かりにくいのかもしれません。
y=f(x)として、積分は∫ydx=∫f(x)dx と書きますが、これは何を言っているかと言うと、f(x)の次元を1つ上げているということです。それが積分で、微分は逆に次元を1つ下げます。
つまり、f(x)の単位がmなら、積分するとm^2になって面積になり、f(x)がm^2の単位なら、積分後はm^3の体積になります。関数の形によって積分後の次元は決まります。f(x)がxならx^2の形(考え方の説明なので係数は省いてます)になるし、x^2ならx^3の形になります。
線を積分すれば面になるので、友達はそう言ったのだと推測します。

お礼

今思うとｙ＝ｘを積分するとｘ＾２/２で次元よりも微積分の公式そのものが当てはまることかなと思います。

回答No.2

m5048172715

三角形の面積の公式と何をどう合わせて、何を1つ作ると、

何をどう納得できないのかを友人に確認して、OKWAVEに補足書き込みです。

お礼

後で聞いてみたら、二辺の長さがｘである直角三角形の面積
ｘ＾２/２がｙ＝ｘの積分になっているということのようです。

回答No.1

asuncion

ちょっとよくわからないので、
ご本人に聞いてください。

お礼

二辺がｘである直角三角形の公式がy＝ｘの積分になっていることらしいです。