二相交流回転機などでのフレミングの右手の法則の変形バージョン

質問

フレミングの右手の法則と言えば
vBl
v:速度，B：磁束密度，l：線状導体の長さ
ですが，この式を変形すると，
モーターの回転角をθとして，
vBl=ωψ
ω：角速度dθ/dt
ψ：その部分の導体に鎖交する磁束
という式が成り立つようですが，これは何故でしょうか？
考えてみたのですが，よく分かりません．
回転子の半径をrとすればv=rωを使うと思うのですが．

回答No.3

foobar · ベストアンサー

A. ターン数
電圧=vBlの式は1ターンの電圧です。
ですから、ターン数は1としてその後の話を続けています。
nターンの場合には、誘導電圧は n vBl になります。
(もうひとつの式 ωΨ ではΨにターン数が含まれているため、１ターンでもnターンでも同じ式になります)

B. vBl=ωΨの問題点

「(vBl=ωψ　という書き方はちょっと問題ありますが、)」
は、正に
「磁束の本数は回転する角度によって変わるような…．」
が絡んでいます。

速度vをどう定義するかにもよるのですが、磁束を横切る速度とし、ローターの周速V(=ωr)とすると、
v=V cosθ となり、誘導電圧eは e=VBl cosθ (θはロータと磁束の為す角 )と正弦波になりますね。

で、鎖交磁束Ψは Ψ=Ψ0 sinθ となります。(Ψ0はコイルと磁束が直角になったときの鎖交磁束)

と、
1. 誘導電圧や磁束を横切る速度 と 鎖交磁束 はともに正弦波状に変化する
2. 誘導電圧、磁束を横切る速度 と 鎖交磁束 では位相が90度異なる(片やcosθ,他方sinθ)

です。

C. Ψ=Brl の解釈
上の変数を使うと、正しくはΨ0=Brl です
(コイルの片側だけを見ています。)
コイル全体を見ると
Ψ0=B r 2l の方が妥当ですが、この場合、磁束を横切る導体が左右2本あるので、誘導電圧=2*vBl となります。
結果、2が打ち消し有って消えます。

D. 鎖交磁束を使った電圧の別解
できれば誘導電圧 e=dΨ/dt で計算した方が良いかと。
これを使うと、
e=d(Ψ0 sinθ)/dt = Ψ0 cosθ dθ/dt
で dθ/dt=ω だから
e= ω Ψ0 cosθ
てなり同じ式が出てくると。
(電圧と磁束で位相が90度異なるのは、e=dΨ/dtの微分に由来してます)

E. まとめ(?)ると

e=vBl= VBlcosθ = ωΨ0cosθ

V=rω より
VBl=rωlB =ωΨ0
てなことになるかと。

お礼

なるほどです！！分かりました．
>コイル全体を見ると
>Ψ0=B r 2l の方が妥当ですが、この場合、磁束を横切>る導体が左右2本あるので、誘導電圧=2*vBl となりま
>す。
>結果、2が打ち消し有って消えます。
この部分を見落としていました！！そういうことだったんですね！丁寧なご説明ありがとうございました．とっても分かりやすかったです！！

>(電圧と磁束で位相が90度異なるのは、e=dΨ/dtの微分>に由来してます)
式で見れば当たり前のことですが，つい定性的なこういう性質は見落としがちですね．記憶しておきます！

回答ありがとうございました．また，何か分からない事があったらよろしくお願いします！

回答No.2

foobar

＃１の補足修正
補足
磁束密度Ｂは均一とします。
修正
「半径rの1ターンコイル」
を
「半径rで回転する、長さlの1ターンコイル」
に修正

お礼

ありがとうございます．
Nターンコイルとすれば
鎖交磁束ψ=N×磁束
ですが，
磁束の本数は回転する角度によって変わるような…．
う～んよく分かりませんね．

回答No.1

foobar

(vBl=ωψ　という書き方はちょっと問題ありますが、)

半径rの1ターンコイルを考えると
導体の速度 v=rω ですから、vBl=rωBl
rlがコイルの面積に相当するので rl Bがコイルを通過する磁束(1ターンコイルだと 磁束=鎖交磁束ψ )に相当します。

お礼

回答ありがとうございます。
(vBl=ωψ　という書き方はちょっと問題ありますが、)
これは1ターンの場合の式ということですよね？

補足

>rlがコイルの面積に相当するので
っていうのがちょっと分かりません．
B×面積が磁束となりますが，
この面積の部分がいまいち素直によく分からないのです．
コイルの回転する所の直径は2rで長さlだし…．よく分かりません．この部分の説明をご教授いただけませんでしょうか？