高槻中学 2020 算数入試問題

質問

https://nokai.jp/img/kinki/exam-answers/2020/exam_takatsuki_2020_a.pdf

大きな四角2の中の[2]の（2）の正三角形の比の問題です。考えたのですが、わかりませんでした。　よろしくお願いいたします。

回答No.5

f272 · ベストアンサー

正三角形の1辺の長さを14として，HR及びFRを延長してBCと交わった点をそれぞれR，Sとすると，
三角形HRCは30-60-90の直角三角形だからRC=12となってBR=2
そうするとRG=3となる。
また三角形QRSは角R=角Sの二等辺三角形だからGS=3で，結局BS=8
三角形FBSは30-60-90の直角三角形だからFB=4となってAF=10
したがってAF:FB=10:4=5:2

回答No.6

staratras

＞一点、わからなかったのですが、なぜ、BFRが直角三角形になるのでしょうか・・？
FからRにおろした線が、なぜ直角になるのでしょうか・・？

三角形FQRが正三角形になるから…と直感的に考えたのですが、よくよく考えると直ぐには示せませんね。No.5のご回答のように、FQを延長してBCとの交点をSとし、直角三角形BFCを考えるべきでした。失礼しました。

お礼

staratras様
ご丁寧にありがとうございました！

回答No.4

staratras

計算の便宜上、正三角形の3辺の長さを14とすると、下の図のようになります。

HQを延長し、BCとの交点をRとすると、三角形RHCは正三角形を2等分した直角三角形(内角が30度60度90度の三角定規の片方の形）なので、
RC＝CH×2＝6×2＝12　で、BR＝14-12＝2です。

FとRとを結ぶと、三角形FRBも同様に30度60度90度の直角三角形になるので、FB＝BR×2＝2×2=4　です、したがってAF＝14-4＝10　なので
AF：FB＝10：4＝5：2

お礼

staratras様
この度はご回答、誠にありがとうございました。
一点、わからなかったのですが、なぜ、BFRが直角三角形になるのでしょうか・・？
FからRにおろした線が、なぜ直角になるのでしょうか・・？

回答No.3

asuncion

0.5 ずれてましたか。
時間があれば再挑戦しますが、
他の識者の方々の回答を
お待ちになる方がよいかもしれません。

回答No.2

asuncion

ちょっと論理が破綻しているところがありそうですが、
答えはたぶん合っています。

補足

asuncion様
有難うございます。

BJFの三角形は30/60/90度の三角形ではないように思います。
答えを確認した所、5：2でした。
https://nokai.jp/img/kinki/exam-answers/2020/answer_takatsuki_2020_a.pdf

いずれにせよ、ご回答ありがとうございます！

回答No.1

asuncion

AH : HC = 4 : 3 = 8 : 6
BG : GC = 5 : 9
△ABCの各辺を14と表わしている。
HQの延長とBCとの交点をIとする。このとき、△CHIで、HC : CI = 6 : 12より、
BIは2と表わせる。従ってIGは3と表わせる。
AからBCに垂線を引き、BCとの交点をJとする。BJはBCの半分であるから
7と表わせる。
△BFJでBJが7と表わせるから、FBは3.5と表わせる。よってAFは10.5と表わせる。
したがって、AF : FB = 10.5 : 3.5 = 3 : 1