ε-δの例題がわかりません・・・
先日からε-δの例題に取り組んでいるのですが解答がなくあってるのかどうかもわかりません・・・
(1)f(x)=x^{3} Ω=R
(2)f(x)=1/(x^{2}) Ω=R＼{0}
(3)f(x)=√x Ω=[0,+∞)
なのですが、
(1)
任意のε>0において、δ=min{1,ε/(|3|a|^{2}+3|a|+1|)}とする。
任意のa∈Ωにおいて、x=aでf(x)が連続であることを示す。
|x-a|<δなるx∈Ωにおいて、|x|-|a|≦|x-a|<δだから、|x|<|a|+δであることを考えて
|f(x)-f(a)|
=|x^3-a^3|
=|x^{2}+ax+a^{2}||x-a|
<|x^{2}+ax+a^{2}|δ
≦(3|a|^{2}+3|a|δ+δ^{2})δ
≦(3|a|^{2}+3|a|+1)δ≦ε
したがって|x-a|<δであるとき|f(x)-f(a)|<εであること
つまり、f(x)=x^{3}がΩにおいて連続であることが示せた。
(2)
任意のε>0において、δ=min{|a|/2,(|a|/2)ε}とする。
任意のa∈Ωにおいて、x=aでf(x)が連続であることを示す。
|x-a|<δなるx∈Ωにおいて、|x|-|a|≦|x-a|<δだから、|x|<|a|+δであることを考えて
|f(x)-f(a)|
=(|x+a||x-a|)/(|x|^{2}|a|^{2})
<(|x+a|)δ/(|x|^{2}|a|^{2})
<((|x|+|a|)δ)/(|x|^{2}|a|^{2})
<(2|a|+δ)δ/(|a|^{2}(|a|-δ)^{2})
≦(2/|a|)δ≦ε
したがって|x-a|<δであるとき|f(x)-f(a)|<εであること
つまり、f(x)=1/(x^{2})がΩにおいて連続であることが示せた。
これで、正しく解答できていますでしょうか？
あと、(3)なのですが、良いδを作って|f(x)-f(a)|<Cδ=εみたいな形にしてしまいたいのですが、うまく作れません・・・ヒントをいただけませんでしょうか？
よろしくお願いいたします。
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お礼
意味が良く分かりました。ありがとうございました。