- ベストアンサー
(sinx)^6の積分を教えてください
大学生で家庭教師をしていますが、(sinx)^6の積分を教えてください。三倍角の公式を二乗して解いたのですが何回やっても答と合いません。
- hometeacher
- お礼率62% (15/24)
- 数学・算数
- 回答数3
- ありがとう数6
- みんなの回答 (3)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
そのやり方で { 9(sin[x])^2 + (sin[3x])^2 - 6sin[x]sin[3x] }/16 としたあと積和の公式で第3項を変形すれば 5/16 - (15/32)sin(2x) + (3/16)sin(4x) - (1/32)sin(6x) となります. あとは,これを積分すれば答えが出てきます.
その他の回答 (2)
- nabla
- ベストアンサー率35% (72/204)
もう既に回答は出ているようですが… 定積分でしたらこれが有効です。 I(n)=∫{0~π}(sinx)^{n}dx とします。(以下では積分の範囲を省略します) すると I(n)=∫sinx(sinx)^{n-1}dx =[-cosx(sinx)^{n-1}]+(n-1)∫cosx(sinx)^{n-2}cosxdx =(n-1)∫(sinx)^{n-2}dx-(n-1)∫(sinx)^{n}dx =(n-1)I(n-2)-(n-1)I(n) これから I(n)={(n-1)/n}I(n-2) という形になります。 この結果はぜひ暗記しておくべきです。 もし不定積分の場合でも、 -cosx(sinx)^{n-1}が消えませんが、積分すべき次数が6から4まで落とせるので何かと有効です。
お礼
このやり方は知りませんでした。ありがとうございます。
- 134
- ベストアンサー率27% (162/600)
f(x)=(sin x)^6 u=sin x と置き換えますと、f(u)=u^6 ですよね。 合成積分にすると、答えがでそうですけど…
関連するQ&A
- 累次積分∮∮(D)sinx^2dxdy
累次積分∮∮(D)sinx^2dxdy D:{y≦x≦1,0≦y≦1} の積分順序を変更し、その値を求めよ。(書き込みが見やすいように範囲の条件式を書きました。xから積分します。) という問題があります。 積分順序を変更すると ∮∮(D)sinx^2dxdy D:{0≦x≦1,0≦y≦x} (yから積分。) となり、ここまではあっていましたが、sinx^2がどうしたら積分出来るのかわかりません。 sin^2xなら2倍角の公式を用いれば解くことができると思いますが、sin^2xとsinx^2は別物ですよね? 解答では (1/2)*(1-cos1) となっています。 この答えの導きを詳しくお願いしたいです。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- cosx/sinxの積分を教えてください
cosx/sinx (=1/tanx) の積分がわからないです。 答えは(sinx)^2になるらしいのですが、どう計算したらいいのかわかりませんでした。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 次の積分について教えてください
(cost)^4の0から2πまでの積分なのですが、解き方教えてください。 倍角の公式などを使って、 (1/4)∫[0-2π](1+2cos2t+(1+cos4t)/2)dtまではたどり着けました。 ただこの後どうすればよいかわかりません。 このあとの計算教えてください。 積分初心者でもわかるような感じでかなり詳しく教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- y=sinxの全長の解き方・・・
正弦曲線y=sinx(0≦x≦π/2)の全長を解こうとすると、∫√{1+(dy/dx)^2}dxが曲線の長さの公式ですよね?これにいれると必然と∫√(1+cosx^2)dxを解かなければならないのですが・・・この積分ができないのですが・・・この積分は解くことができるのでしょうか?他に解き方はありますか?
- 締切済み
- 数学・算数
- 数学の積分について・・・
問題に1/cosx を積分せよとの問題があったのですが、答えは、1/2log 1+sinx/1-sinxだったんですが、 私がの回答は-1/2log sinx-1/sinx+1でした。これは正解となるんでしょうか?ご回答よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
やっとわかりました。ありがとうございます。