円と接線

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回答No.2

info33 · ベストアンサー

[Z4]

C1: x^2+y^2=25 ... (1)
C2: x^2+y^2-10y+5=0 ... (2)

C2: x^2+(y-5)^2=20 (y>0) ... (2')

C1, C2の交点 A(-x, y), B(x,y) (x>0, y>0)
(1), (2) より
25-10y+5=0, y=3, x^2+9=25, x^2=16, x= ±4
A(-4,3), B(4,3)
K: x^2+y^2=25, (-4≦x≦4, 3≦y≦5) ... (3)
P(a,b) (-4≦a≦4, 3≦b≦5, a^2+b^2=25)

接線 l : ax+by=25, b=√(25-a^2) ... (4)
C2: x^2+y^2-10y+5=0 ... (2)
接線 l とC2 の交点 Q,R: Q(x1,y1), R(x2,y2) (x1< 0 <x2)
y=(25-ax)/b .. (4')
x^2+(25-ax)^2 /b^2 -10(25-ax)/b+5=0 ... (5-1)
(b^2) x^2+(25-ax)^2 -10b(25-ax)+5b^2=0 ... (5-2)
25 x^2 +10a(b-5) x+5(125-50b+b^2)=0 ... (5-3)
5 x^2 +2a(b-5) x+125-50b+b^2=0 ... (5-4)
x^2 +(2/5)a(b-5) x +(125-50b+b^2)/5 =0 ... (6)

2次方程式の解と係数の関係を用いて
(x2-x1)^2=(x2+x1)^2-4x1x2 ... (7)
=(4/25)a^2*(5-b)^2 -(4/5)(125-50b+b^2)
=(4/25)(25-b^2)(5-b)^2-(4/5)(125-50b+b^2)
=(4/25){(25-b^2)(25+b^2-10b)-(625-250b+5b^2)}
=(4/25) b^2 *{20-(b-5)^2}, (3≦b≦5) ... (8)

x1<0<x2 より
x2-x1=(2/5) b √ {20-(b-5)^2} , (3≦b≦5) ... (9)

S=(1/2)(25/b) (x2-x1) ... (10-1)
=5 √ {20-(b-5)^2} , (3≦b≦5) ... (10-2)

P(a,b) は K(C1)上の点だから
b=3 の時 (P(4,3) , P(-4,3) の時) 最小値 S=20
b=5 の時 (P(0,5) の時) 最大値 S=5√20 =10√5

(答え) 20≦S≦10√5

回答No.1

gamma1854

P(5*c, 5*s), (c=cosθ, s=sinθ の略), (arcsin(4/5)≦θ≦pi/2)とすると、
l : c*x+s*y=5.
これをｙについて解き、C2の式に代入してできるｘの方程式は、
x^2 - 10c(1-s)*x+25-50s+5s^2=0....解はQ, Rのｘ座標
解と係数の関係を使い、QRを求めると、
QR=(1/s)*√{20(5c^2(1-s)^2-5+10s-s^2}
これを使って、
S^2={(1/2)*QR*5}^2
=125*{-5*(1 - s)^2+4}.
これより、sinθ=1 のとき、Ｓは最大(10√5)になります。