方程式、複素数の応用問題です。ド・モアブルの定理？

質問

以下の３つの方程式が分かりませんので、よろしくお願いいたします。中間テスト前なので、困っています。
z^3=－i
z^6=27
z^4=-8(1+√3i)

回答No.1

f272 · ベストアンサー

(1)
－iの絶対値は1だからzの絶対値は3乗根の1
－iの偏角は270度だからzの偏角は1/3倍の90度とそれに360/3=120度を次々に加えたもの，つまり90度，210度，330度の3個です。
cos90度=0，cos210度=-√3/2，cos330度=√3/2
sin90度=1，sin210度=-1/2，sin330度=-1/2
だからz=0+1*i=i，z=(-√3/2)-(1/2)*i，z=(√3/2)-(1/2)*iの3個です。

(2)
27の絶対値は27だからzの絶対値は6乗根の√3
27の偏角は0度だからzの偏角は1/6倍の0度とそれに360/6=60度を次々に加えたもの，つまり0度，60度，120度，180度，240度，300度の6個です。
cos0度=1，cos60度=1/2，cos120度=-1/2，cos180度=-1，cos240度=-1/2，cos300度=1/2
sin0度=0，sin60度=√3/2，sin120度=√3/2，sin180度=0，sin240度=-√3/2，sin300度=-√3/2
だからz=√3(1+0*i)=√3
z=√3((1/2)+(√3/2)*i)=√3/2+(3/2)i
z=√3((-1/2)+(√3/2)*i)=-√3/2+(3/2)i
z=√3((-1)+0*i)=-√3
z=√3((-1/2)+(-√3/2)*i=-√3/2-(3/2)i
z=√3((1/2)+(-√3/2)*i)i=√3/2-(3/2)i
の6個です。

(3)
1+√3iの絶対値は2，-8(1+√3i)の絶対値は16だからzの絶対値は4乗根の2
1+√3iの偏角は240度だからzの偏角は1/4倍の60度とそれに360/4=90度を次々に加えたもの，つまり60度，150度，240度，330度の4個です。
cos60度=1/2，cos150度=-√3/2，cos240度=-1/2，cos330度=√3/2
sin60度=√3/2，sin150度=1/2，sin240度=-√3/2，sin330度=-1/2
だからz=2((1/2)+(√3/2)i)=1+√3i
（書くのがめんどくさい）
の4個です。