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漸近線の導出
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- staratras
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5x^2-6xy-5y^2-4x+2y-25=0 …(1) 5y^2-2(1-3x)y-(5x^2-4x-25)=0 …(2) (2)をyについて解くと、 y={(1-3x)±√(34x^2-26x-124)}/5 …(3) これはy=〔{-3x±(√34)x(√(1-26/34x-124/34x^2)}+1〕/5 と変形できて √(1-26/34x-124/34x^2)はxの絶対値が大きくなればなるほど限りなく1に近づくので漸近線の傾きは {-3±√34}/5 (この2数の積は9-34/25=-1 であり、この漸近線は直交する) ここで(3)の根号の中が負でないことが(1)の双曲線のグラフが存在できる条件であり、限界となる根号の中を0とするxの値を求めると x=(13±√4385)/34 このときy=(-5∓3√4385)/170 (複合同順) ここでこの2点をP,Qとすると、P,Qは双曲線の中心に対して対象の位置にあるから、PQの中点が双曲線の中心であり、これをMとするとM(13/34,-1/34)双曲線の中心は漸近線の交点だから2本の漸近線はいずれもMを通る。 したがって、漸近線の式は y+1/34=(-3+√34)/5(x-13/34)すなわちy=(-3+√34)x/5+1/5-(13√34/170)(紫色)と y+1/34=(-3-√34)/5(x-13/34)すなわちy=(-3-√34)x/5+1/5+(13√34/170)(赤色)
- gamma1854
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曲線 5*x^2 - 6*xy - 5*y^2 - 4x+2y - 25=0 ...(*) と直線 y=mx+c. が交わるとき、そのx座標は、 (5-6m-5m^2)x^2+(-6c-10mc+2m-4)x+(-5c^2+2c-25)=0. の実数解。 それが無限遠であるとき、x=1/t とおいて、 (5-6m-5m^2)+(-6c-10mc+2m-4)*t+(-5c^2+2c-25)*t^2=0. が t=0,(x=∞) を重解にもつから、 5-6m-5m^2=-6c-10mc+2m-4=0. をみたすことになり、この解が求めるm, c です。
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