交点の個数

質問

c1 ;17*x^2+30*x*y-94*x+117*y^2-498*y-1219=0,
c2[k] ;1764*k+x^2-18*x*y-134*x+81*y^2-558*y+961=0(k∈Rに依存)
　　　　なる 2曲線 の　交点の個数の
　　　　k　による分類　を　お願いします;

c1 上の　整数解を求めて下さい;

回答No.1

muturajcp

c1;
17x^2+30xy-94x+117y^2-498y-1219=0
↓X=x-1
↓Y=y-2
↓とすると
17X^2+30XY+117Y^2-1764=0
↓両辺に1764を加えると
17X^2+30XY+117Y^2=1764
↓両辺に17をかけると
(17X)^2+17*30XY+17*117Y^2=17*1764
(17X+15Y)^2+9(17*13-25)Y^2=17*1764
(17X+15Y)^2+(42Y)^2=17*42^2
0≦(17X+15Y)^2=42^2(17-Y^2)
0≦17-Y^2
Y^2≦17
|Y|≦√17≒4.1231
|Y|≦4

Y=0の時17X^2=(7*3*2)^2だからXは整数でない

Y=1の時
17X^2+30X-1647=0
(X-9)(17X+183)=0
X=9
(X,Y)=(9,1)の時(x,y)=(X+1,Y+2)=(10,3)
(X,Y)=(-9,-1)の時(x,y)=(X+1,Y+2)=(-8,1)

Y=2の時(17X+30)^2=13*42^2だからXは整数でない
Y=3の時(17X+45)^2=(2^5)*(7*3)^2だからXは整数でない

Y=4の時
17X^2+120X+108=0
(X+6)(17X+18)=0
X=-6
(X,Y)=(-6,4)の時(x,y)=(X+1,Y+2)=(-5,6)
(X,Y)=(6,-4)の時(x,y)=(X+1,Y+2)=(7,-2)

c1上の整数解は
(x,y)=(10,3)
(x,y)=(-8,1)
(x,y)=(-5,6)
(x,y)=(7,-2)