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ベクトルの重心と中線の交点

交点のベクトルを求める計算がわからないので質問します。 OAベクトルは→OAと書きます。お願いします。 △ABCにおいて辺BCの中点をD、辺CAの中点をE、辺ABの中点をFとするとき、線分AD、BE、CFは１点で交わり、その交点はそれぞれの線分を2:1の比に内分することをしるせ。 本では3点A、B、Cの位置ベクトルを、→OA=a、→OB=b、→OC=c、とおいて　 点Gは２点A、Dを通る直線上にあるので、その位置ベクトルは媒介変数tを用いて、 →OG=(1-t)a+t(→OD)=(1-t)a+(t/2)b+(t/2)c・・・(1)となります。 点Gは２点C、Fを通る直線上にあるので、その位置ベクトルは媒介変数sを用いて、→OG=(1-s)c+s(→OF)=(1-s)c+(s/2)a+(s/2)b・・・(2)となります。 (1)、(2)の係数について連立方程式をつくり、それを解いて→OGを求めるという解き方でした。 自分は、 →AG=s(→AD)=t(→BE)、→AG=(s/2)→AB+(s)→AE=(t)→AE+(-t)→AB ・・・(3) と式を作りました。真ん中の辺において、Gは２点B、Eを通る直線上にあるので、s/2+s=1よりs=2/3。 また真ん中の辺=右辺より、→AEの係数は一致するはずなので、s=t=2/3しかしこれを代入しても右辺は、(2/3)→AE-(2/3)→AB、真ん中の辺は(1/3)→AB+(2/3)→AEと、→AGが1通りには表せませんでした。(1/3)→AB+(2/3)→AEからは本に一致する→OGが導けました。自分の解き方がどこで間違っているか説明してくださると助かります。どなたかお返事お願いします。

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質問者が選んだベストアンサー

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  • 回答No.1
  • f272
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→AG=s(→AD) は成り立つだろうが →AG=t(→BE) が成り立つことはありません。AGとBEでは方向が違います。

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質問者からのお礼

図を描けば気付く間違いですね。始点にも注意したいと思います。　ありがとうございます。

その他の回答 (3)

  • 回答No.4

>→AG=(s/2)→AB+(s)→AE=(t)→AE+(-t)→AB ・・・(3) >次式では、 >→AD=1/2(→AB+→AC)=(1/2)→AB+→AE。→BE=→AE-→ABと考えました。これから→ABと→AEの係数を比較しようとしました。 (以下、ベクトルの → を省略し、始点-終点だけで表示) はじめの式では、AD = (1/2)*AB + AE (= AF+AE) が成立するとは限らないのでは？ (四辺形 AFGE が平行四辺形とは限らない) 「次式では」AD = (1/2)*AB +AE が成立ちそうない。 ベクトルの表記は、定点 O をきめて、たとえば OA=a, OB=b として、 　AB = b-a と表記するほうが、紛れを避けられそうです。 　　>→AG=(s/2)→AB+(s)→AE=(t)→AE+(-t)→AB ・・・(3)

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質問者からのお礼

アドバイスありがとうございます。

  • 回答No.3

とりあえず、スタート・ポイントから。 　　　↓ >自分は、 >→AG=s(→AD)=t(→BE) >→AG=(s/2)→AB+(s)→AE=(t)→AE+(-t)→AB ・・・(3) >と式を作りました。 (以下、ベクトルの → を割愛して、始点と終点のみで示す) はじめの式の AD と BE は向きが異なり、等号で結べぬのでは (s=0, t=0 のときのみ成立)。 次式の意味は？ 　　

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質問者からのお礼

お返事ありがとうございます。

質問者からの補足

f272さんや178-tallさんの指摘のように、→ADと→BEが向きがちがうので、等号でむすべないは一つ覚えておきます。ありがとうございます。 次式では、 →AD=1/2(→AB+→AC)=(1/2)→AB+→AE。→BE=→AE-→ABと考えました。これから→ABと→AEの係数を比較しようとしました。最初が間違いならどうしようもないですね。

  • 回答No.2

点 G は点A、Dを通る直線上にあるから、OG = g を媒介変数 t を用いて、 　g = (1-t)a+td = (1-t)a + (t/2)(b+c)　　…(1) と表せる。 また、点 G は点C, F を通る直線上にあり、 　g = (1-s)c+sf = (1-s)c + (s/2)(a+b)　　…(2) と表せる。 ベクトル a, b, c は互いに「独立」だろうから、(1), (2) を等置し、a, b, c の係数を等置すると、 　s = t = 2/3 を得る。 　　

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質問者からのお礼

本に書かれた解答とそっくりです。お返事ありがとうございます。

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